Cách giải bài hàm số y = sinx đồng biến trên khoảng nào?

Các bài tập xét tính đơn điệu của hàm số lượng giác luôn làm khó các bạn học sinh nếu không nắm chắc kiến thức. Nhiều bạn dễ để mất điểm ở những câu hỏi về hàm số lượng giác. Dưới đây là tổng hợp lý thuyết và bài tập ứng dụng về hàm số lượng giác được Toploigiai tổng hợp. Hy vọng sẽ giúp các bạn dễ dàng trả lời câu hỏi Cách giải bài hàm số y=sinx đồng biến trên khoảng nào? Cùng tìm hiểu nhé!

1. Lý thuyết về hàm số y = sinx

- Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực sinx

được gọi là hàm số sin, kí hiệu là y = sinx.

Tập xác định của hàm số sin là Rℝ.

Hàm số y= sin x có tập xác định là D = R => y =sin[f (x)] xác định ó  f (x) xác định.

Tập giá trị T = [-1;1], nghĩa là -1 ≤ sinx ≤ 1

Hàm số y = f (x) = sin x là hàm số lẻ vì f (-x) =sin(-x) =-sin x =-f (x). Nên đồ thị hàm số y = sin x nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.

Hàm số y =sin x tuần hoàn với chu kì T0 = 2π, nghĩa là sin(x+ k2 π) = sin x. Hàm

số y = sin(ax+b) tuần hoàn với chu kì T0 =2π/|a|

- Hàm số y=sinx đồng biến trên mỗi khoảng

-Hàm số y=sinx nghịch biến trên mỗi khoảng:

Đồ thị hàm số y=sinx đi qua điểm O(0;0) 

>>> Tham khảo: Hàm số nào sau đây đồng biến trên R?

2. Cách giải bài hàm số y=sinx đồng biến trên khoảng nào

Để xác định sự đồng biến, nghịch biến của hàm số, ta dựa và phần lý thuyết đã nêu ở mục 1. Từ đó, chúng ta cùng nhau phân tích Sự biến thiên và đồ thị của hàm số y=sinx như sau:

Từ định nghĩa ta thấy hàm số y = sinx:

+ Xác định với mọi x∈R∈ℝ và – 1 ≤ sinx ≤ 1.

+ Là hàm số lẻ.

+ Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π.

Sau đây, ta sẽ khảo sát sự biến thiên của hàm số y = sinx.

a. Sự biến thiên và đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn [0; π].

Hàm số y = sinx đồng biến trên [0;π/2] và nghịch biến trên [π/2;π] 

Bảng biến thiên:

Đồ thị của hàm số y = sinx trên đoạn [0; π] đi qua các điểm (0; 0); (x1; sinx1); (x2; sinx2); (x3; sinx3); (x4; sinx4); (π; 0).

- Chú ý:

Vì y = sinx là hàm số lẻ nên lấy đối xứng đồ thị hàm số trên đoạn [0; π] qua gốc tọa độ O, ta được đồ thị hàm số trên đoạn [– π;  0].

Đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn [– π; π] được biểu diễn như hình vẽ dưới đây:

b. Đồ thị hàm số y = sinx trên ℝ.

Hàm số y = sinx là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π nên với mọi x ta có:

sin  (x+​ k2π) =sinx;   k ∈  ℤ

Do đó, muốn có đồ thị  hàm số y = sinx trên toàn bộ tập xác định , ta tịnh tiến liên tiếp đồ thị hàm số trên đoạn [– π; π] theo các vecto v=(2π;0) và −→v=(−2π;0) − v→ =  (−2π;  0), nghĩa là tịnh tiến song song với trục hoành từng đoạn có độ dài 2π.

Dưới đây là đồ thị hàm số y = sinx trên Rℝ:

c) Tập giá trị của hàm số y = sinx

Tập giá trị của hàm số này là [– 1; 1].

>>> Tham khảo: Cách xác định hàm số chẵn lẻ

3. Bài tập hàm số y=sinx đồng biến trên khoảng nào

Câu 1: Trong khoảng (0;π/2), hàm số y=sinx−cosx là hàm số:

A. Đồng biến.

B. Nghịch biến.

C. Không đổi.

D. Vừa đồng biến vừa nghịch biến.

Đáp án A.

Ta thấy trên khoảng (0;π/2) hàm f(x)=sinx đồng biến và hàm g(x)=−cosx đồng biến , suy ra trên (0;π/2) hàm số y=sinx−cosx đồng biến.

Câu 2: Cho hàm số y = sinx. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng(π/2;π) , nghịch biến trên khoảng(π;3π/2) .

B. Hàm số đồng biến trên khoảng(-3π/2;-π/2) , nghịch biến trên khoảng(-π/2;π/2) .

C. Hàm số đồng biến trên khoảng(0;π/2) , nghịch biến trên khoảng(-π/2;0) .

D. Hàm số đồng biến trên khoảng(-π/2;π/2), nghịch biến trên khoảng(π/2;3π/2) .

Đáp án D

Hàm số y= sinx đồng biến khi x thuộc góc phần tư thứ I và thứ IV; nghịch biến khi x thuộc góc phần tư thứ II và thứ III.

Câu 3: Cho hàm số y=4sin(x+π/6)cos(x−π/6)−sin2x. Kết luận nào sau đây là đúng về sự biến thiên của   hàm số đã cho?

A. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (0;π/4) và (3π/4;π).

B. Hàm số đã cho đồng biến trên (0;π)(0;π).

C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0;3π/4)

D. Hàm số đã cho đồng biến trên  khoảng (0;π/4) và nghịch biến trên khoảng(π/4;π).

Đáp án A.

Xét sự biến thiên của hàm số y=sin2x+√3 , ta sử dụng TABLE để xét các mệnh đề .

Ta thấy với [A]. Trên (0;π/4) thì giá trị của hàm số luôn tăng.

Tương tự trên (3π/4;π) thì giá trị của hàm số cũng luôn tăng.

Câu 4: Xét hàm số y= sinx trên đoạn[-π;0].Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đồng biến trên các khoảng(-π;-π/2) và (-π/2;0) .

B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-π;-π/2); nghịch biến trên khoảng (-π/2;0) .

C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (-π;-π/2) ; đồng biến trên khoảng (-π/2;0) .

D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-π;-π/2) và (-π/2;0).

Đáp án C

Cách 1: Từ lý thuyết về các hàm số lượng giác cơ bản ở trên ta có hàm số y=sinx nghịch biến trên khoảng (-π;-π/2) và đồng biến trên khoảng (-π/2;0)

Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay.

Do ở đề bài, các phương án A, B, C, D chỉ xuất hiện hai khoảng là (-π;-π/2) và (-π/2;0)

nên ta sẽ dùng máy tính cầm tay chức năng MODE 7: TABLE để giải bài toán.

+ Ấn MODE → 7

Máy hiện F(X)= thì ta nhập sinX ⇒ START? Nhập -π END? Nhập 0 STEP? Nhập π/10

Lúc này từ bảng giá trị của hàm số ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng (-π;-π/2) và đồng biến trên khoảng (-π/2;0).

-----------------------------------

Trên đây Toploigiai đã tổng hợp Cách giải bài hàm số y=sinx đồng biến trên khoảng nào? Hy vọng những thông tin trên sẽ giúp ích cho bạn giải các bài tập về hàm số lượng giác. Chúc bạn học tốt!