Cách xác định hàm số chẵn lẻ

Hướng dẫn “Cách xác định hàm số chẵn lẻ” đầy đủ, chi tiết nhất và phần kiến thức mở rộng thú vị về hàm số chẵn lẻ do Top lời giải biên soạn là tài liệu hay dành cho các bạn học sinh và các thầy cô giáo tham khảo

Cách xác định hàm số chẵn lẻ

* Sử dụng định nghĩa

Hàm số y = f(x) xác định trên D

Chú ý: Một hàm số có thể không chẵn cũng không lẻ

        Đồ thị hàm số chẵn nhận trục Oy làm trục đối xứng

        Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng

* Quy trình xét hàm số chẵn, lẻ.

B1: Tìm tập xác định của hàm số.

B2: Kiểm tra

    Nếu ∀ x ∈ D ⇒ -x ∈ D Chuyển qua bước ba

    Nếu ∃ x₀ ∈ D ⇒ -x₀ ∉ D kết luận hàm không chẵn cũng không lẻ.

B3: xác định f(-x) và so sánh với f(x).

    Nếu bằng nhau thì kết luận hàm số là chẵn

    Nếu đối nhau thì kết luận hàm số là lẻ

    Nếu tồn tại một giá trị ∃ x₀ ∈ D mà f(-x0 ) ≠ ± f(x₀) kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ.

Kiến thức mở rộng về hàm số chẵn lẻ.

Hàm số chẵn lẻ là gì?

Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D.

• Hàm số f được gọi là hàm số chẵn nếu với ∀x ∈ D thì −x ∈ D và f(x) =f(−x).

• Hàm số f được gọi là hàm số lẻ nếu với ∀x ∈ D thì −x ∈ D và f(x) =f(−x)

Lưu ý:

• Điều kiện thứ nhất gọi là điều kiện tập xác định đối xứng qua số 0.

• Một hàm số không nhất thiết phải là hàm số chẵn hoặc hàm số lẻ.

Cách xác định hàm số chẵn lẻ bằng máy tính

Ý tưởng sử dụng Casio để xét dựa trên giá trị f(x) và f(-x) bằng nhau hoặc đối nhau. Để thực hiện ta sử dụng chức năng Table ở chế độ hai hàm số.

Ví dụ: Xét tính chẵn lẻ của hàm số y=x³+2x²-3

Giải: Trên máy tính cầm tay Vinacal 570 ES Plus II ta bấm như sau (các máy tính bỏ túi khác bấm tương tự):

MODE 7

Ta tiến hành nhập hàm số đã cho trong đề bài

Tiếp theo ta nhập hàm số g(x)=f(−x) (Tức là vị trí nào của x ta bấm −x)

Các mục tiếp theo là START, END, STEP ta để mặc định cho nhanh (có thể chọn cũng được). Ta được kết quả như sau:

Đến đây ta dò hai cột giá trị F(X) và G(X) thì thấy rằng tại x=1 hai giá trị không bằng nhau cũng không đối nhau. Do đó hàm đã cho không phải hàm chẵn cũng không phải hàm lẻ. Lưu ý phương pháp này mang tính ước lượng và không thay thế cho chứng minh được. Tuy nhiên sử dụng trong giải toán trắc nghiệm có thể sử dụng được.

Bài tập ví dụ:

Ví dụ 1: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

Hướng dẫn:

a) f(x) = 3x³ + 2∛x

TXĐ: D = R.

Với mọi x ∈ D, ta có -x ∈ D

f(-x) = 3.(-x)³ + 2∛(-x) = -(3x³ + 2∛x) = -f(x)

Do đó f(x) = 3x³ + 2∛x là hàm số lẻ

Ví dụ 2: Tìm m để hàm 

là hàm số chẵn.

Điều kiện xác định: x²+1≠m.

Giả sử hàm số f(x) là hàm số chẵn suy ra f(−x)=f(x) với mọi x thỏa mãn điều kiện

 

Bài tập tự luyện

Bài 1: Chứng minh rằng với hàm số f(x) bất kỳ, f(x) có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng tổng của một hàm số chẵn và một hàm số lẻ.

Bài 2:

Tìm tập xác định và xét tính chẵn  lẻ của mỗi hàm số sau:

Bài 3: Cho hàm số y=f(x), y=g(x) có cùng tập xác định D. Chứng minh rằng:

Nếu hai hàm số trên lẻ thì hàm số y=f(x)+g(x) là hàm số lẻ.

Nếu hai hàm số trên một chẵn, một lẻ thì hàm số y=f(x)g(x) là hàm số lẻ.

Bài 4: Cho hàm số f(x) = (m - 2)x² + (m - 3)x + m² - 4

a) Tìm m để hàm f(x) là hàm chẵn

b) Tìm m để hàm f(x) là hàm lẻ.

Bài 5: Khảo sát tính chẵn lẻ của các hàm số có trị tuyệt đối sau

a) f(x) = |2x + 1| + |2x - 1|

b) f(x) = (|x + 1| + |x - 1|)/(|x + 1| - |x - 1|)

a) f(x) = |x - 1|2.