Các bài toán nâng cao lớp 6 về chia hết

Bài viết về Chuyên mục Toán nâng cao lớp 6 gồm các bài toán khó, các dạng bài toán và hướng dẫn giải dành cho các bạn học sinh khá giỏi. Dưới đây Top lời giải đã sưu tầm Các bài toán nâng cao lớp 6 về chia hết có đáp án, giúp các bạn luyện tập nâng cao kĩ năng giải toán khó. Mời các bạn và phụ huynh cùng tham khảo.

1. Tóm tắt lý thuyết về tính chất và dấu hiệu chia hết

a. Dấu hiệu chia hết

* Dấu hiệu chia hết cho 2

Các số có chữ số tận cùng là chữ số chẵn thì chia hết cho 2 và chỉ những số đó mới chia hết cho 2.

* Dấu hiệu chia hết cho 3

Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3 và chỉ những số đó mới chia hết cho 3.

* Dấu hiệu chia hết cho 4 ( ⋮4)

Hai số cuối của số đó tạo thanh một số có hai chữa số mà chia hết cho 4 thì số đó chia hết cho 4

VD : 8 ⋮4 ( vì 08 ⋮4) ;    5460 ⋮4 ( vì 60⋮4) ;    8724⋮4 ( vì 24⋮4)

56731 không chia hết cho 4 vì  ( 31 không chia hết cho 4)

* Dấu hiệu chia hết cho 5

Các số có chữ số tận cùng là chữ số 0 hoặc 5 và chỉ những số đó mới chia hết cho 5.

* Dấu hiệu chia hết cho 6 ( ⋮6)

Một số đồng thời chia hết cho 3 và cho 2 thì chia hết cho 6

VD : 306 ⋮6 ( vì 306⋮2 và đồng thời 306⋮3)

2356 không ⋮6 ( vì 2356⋮2 nhưng 2356 không ⋮3)

* Dấu hiệu chia hết cho 7

Lấy chữ số đầu tiên bên trái , nhân với 3 , được bao nhiêu cộng thêm với số thứ 2 , rồi được bao nhiêu lại nhân với số thứ 3 rồi lại cộng với số thứ tư . Làm như thế cho đến số cuối cùng bên phải . Nếu kết quả là một số chia hết cho 7 thì số đó chia hết cho 7 .

VD : 798⋮7 Vì   7×3=21+9=30×3=90+8=98 Nhận thấy 98:7=14 nên 798 chia hết cho 7

Một cách tối giản khác như sau: Để thuận tiện thì sau khi  cộng với số tiếp theo có thể trừ đi một bội của 7 để dễ tính .

( vì  cố đầu tiên bên trái là 7 vậy nên ta có 7 x3 =21 +9=30 ( giảm đi bội của 7  30 – 28 (28=4×7)=2 ) nhân tiếp với 3 ta có : 2 x3=6  rồi cộng với số tiếp theo : ta có 6+8 =14 ⋮7 ) nghe có vẻ  lằng nhằng

Kết quả phép tính : 798:7= 114

247  không ⋮7 ( vì   2×3=6+4=10×3=30+ 7=37 không chia hết cho 7  )

*  Dấu hiệu chia hết cho 8 ( ⋮8)

3 chữ số cuối cùng bên phải tạo thanh một số chia hết cho 8  thì số đó chia hết cho 8 è số ⋮8 thì sẽ ⋮4 và ⋮2

VD 9192⋮8 ( vì 192⋮8 =24) ; số 8297 không chia hết cho 8 vì 297 không ⋮8

* Dấu hiệu chia hết cho 9

Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và chỉ những số đó mới chia hết cho 9.

* Dấu hiệu chia hết cho 11

Tính từ trái sang phải : tổng các chữ số hàng chẵn trừ đi tổng các chữ số hàng lẻ ( hoặc ngược lại) là một số , số này chia hết cho 11 thì số đó chia hết cho 11

VD : 4686⋮11=426

Các số hàng chẵn là số 6 hàng 2 và  số 6 hàng 4

Các số hàng lẻ là số 4 hàng 1 và số 8 hàng 3

Nên ta có :  6+6-(4+8)=0⋮11  vậy 4686 chia hết cho 11

VD2 :    34672⋮11=3152 ( vì 4+7-(3+6+2)=0⋮11) ;

VD3 : 61028⋮11=5548 ( vì 6+0+8-(1+2)=11⋮11)

Số 0 chia hết cho mọi số khác 0 chứ.

Ngoài ra cũng có thể tìm ra dấu hiệu chia hết cho 12( vừa chua hết cho 3 và 4 ) chia hết cho 14 ( vừa chia hết cho 7 và 2 ) , chia hết cho 15 ( vừa chia hết cho 3 và 5) ……..

b. Tính chất của chia hết

Tính chất 1 

+) Nếu tất cả các số hạng của một tổng đều chia hết cho cùng một số thì tổng chia hết cho số đó.

a ⋮ m, b ⋮ m, c ⋮ m => (a + b + c) ⋮ m.

+) Nếu a > b, a và b đều chia hết cho cùng một số thì hiệu a - b cũng chia hết cho số đó: a ⋮ m, b ⋮ m => (a-b) ⋮ m.

Tính chất 2

Nếu trong tổng có một số hạng không chia hết cho số tự nhiên m, còn các số hạng khác đều chia hết cho m thì tổng đó không chia hết cho m.

a ⋮ m, b ⋮ m, c /⋮ m => (a + b + c) /⋮ m

Lưu ý: Một tổng chia hết cho một số tự nhiên nhưng các số hạng của tổng không nhất thiết cần phải chia hết cho số đó.

>>> Xem thêm: Cách nhận biết dấu hiệu chia hết cho 9

2. Các bài toán nâng cao lớp 6 về chia hết

Bài 1: Cho số tự nhiên hai chữ số ab bằng ba lần tích của các chữ số của nó.

a/ Chứng minh rằng b chia hết cho a

b/ Giả sử b=ka (k + N), chứng minh k là ước của 10

c/ Tìm các số ab nói trên.

Đáp án:

a. Theo đề bài ta có

10a + b = 3ab

10a = b(3a – 1)

b = 10a/(3a – 1)

Vậy b chia hết cho a.

b. Ước của 10 là 5; 2 và 10

Mà b = 10a/(3a – 1) = 5.2a/(3a – 1)

Vậy b chia hết cho 10; 5 và 2

c. Vì k< 10 nên k sẽ phải là 1 hoặc 2 hoặc 5

TH1: k = 1. Suy ra 3a = 11 (loại)

TH2: k = 2. Suy ra 6a = 12 nên a= 2 và b = 4

TH3: k = 5. Suy ra 15a = 15 nên a = 1 và b = 5

Vậy có hai số ab cần tìm là 24 và 15

Bài 2: Chứng minh rằng:

a, (n+10)(n+15)⋮2

b, n(n+1)(n+2)⋮2,3

Đáp án:

a, Ta có:

Nếu n là số lẻ thì n+15⋮2

Nếu n là số chẵn thì n+10⋮2

 Như vậy với mọi n là số tự nhiên thì : (n+10)(n+15)⋮2

 b, Ta có: Vì n(n+1)(n+2)là 3 số tự nhiên liên tiếp nên sẽ có 1 số chia hết cho 2,1 số chia hết cho 3

Bài 3: Tìm các số tự nhiên chia cho 4 thì dư 1, còn chia chi 25 thì dư 3.

Đáp án:

Các số chia hết cho 25 sẽ có tận cùng là 25; 75; 00; và 50. Vậy các số chia cho 25 dư 3 sẽ có tận cùng là 28; 78; 03 và 53

Các số chia hết cho 4 phải có 2 số tận cùng chia hết cho 4.

Muốn chia chia cho 4 dư 1 thì 2 số tận cùng cũng phải chia 4 dư 1.

Như vậy, trong các số trên chỉ có số 53 là thỏa điều kiện

Bài 4: Tìm số tự nhiên n sao cho 2n−1⋮7

Đáp án:

Nếu n = 3k (k ∈ N) thì 2ⁿ -1 = 2^3k -1 = 8^k -1

Chia hết cho 7

Nếu n =3k +1(k ∈ N) thì

2ⁿ -1= 2^3k+1 – 1=2(2^3k -1) +1 = Bội số của 7 +1

Nếu n = 3k +2 ( k ∈ N) thì

2n -1= 2^3k+2 -1 =4(2^3k – 1)+3 =Bội số của 7 +3

Vậy 2ⁿ -1 chia hết cho 7 thì n = 3k(k ∈ N).

Bài 5: chứng minh rằng

a)  n⁵ - n chia hết cho 30 với n ∈ N    ;   

b) n⁴ -10n²  + 9 chia hết cho 384 với mọi n lẻ n∈  Z

Đáp án:

a) n⁵ - n = n(n⁴ - 1) = n(n - 1)(n + 1)(n2 + 1) = (n - 1).n.(n + 1)(n² + 1) chia hết cho 6 vì

(n - 1).n.(n+1) là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3 (*)

Mặt khác     n⁵ - n = n(n² - 1)(n2 + 1) = n(n² - 1).(n² - 4 + 5) = n(n² - 1).(n² - 4 ) + 5n(n² - 1)

               = (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n  + 2) + 5n(n² - 1)

Vì (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n  + 2) là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 5

Mà  5n(n2 - 1) chia hết cho 5

Suy ra (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n  + 2) + 5n(n² - 1) chia hết cho 5 (**)

Từ (*) và (**) suy ra đpcm

b) Đặt A = n⁴ -10n²  + 9 = (n⁴ -n² ) - (9n² - 9) =  (n² - 1)(n² - 9) = (n - 3)(n - 1)(n + 1)(n + 3)

Vì n lẻ nên đặt n = 2k + 1 (k Z) th

A = (2k - 2).2k.(2k + 2)(2k + 4) = 16(k - 1).k.(k + 1).(k + 2) A chia hết cho 16 (1)

Và  (k - 1).k.(k + 1).(k + 2) là tích của 4 số nguyên liên tiếp nên A có chứa bội của 2, 3, 4 nên A là bội của 24 hay A chia hết cho 24 (2)

Từ (1) và (2) suy ra A chia hết cho 16. 24 = 384

Bài 6: Chứng minh rằng một số chính phương chia hết cho 3 chỉ có thể có số dư bằng 0 hoặc 1.

Đáp án:

Gọi A là số chính phương A = n² (n ∈ N)

*Xét các trường hợp:

n= 3k (k ∈ N) ⇒ A = 9k² chia hết cho 3

n= 3k + 1  (k ∈ N) ⇒ A = 9k² + 6k +1 chia cho 3 dư 1

Vậy số chính phương chia cho 3 chỉ có thể có số dư bằng 0 hoặc 1.

>>> Xem thêm: Bài tập về ước và bội lớp 6

---------------------------

Trên đây là tổng hợp các bài toán nâng cao lớp 6 về chia hết cùng một số kiến thức về các tính chất và dấu hiệu chia hết. Mong rằng thông tin trên sẽ giúp ích cho bạn, chúc bạn học tốt!