Bảng tích phân đầy đủ nhất?

Câu hỏi: Bảng tích phân đầy đủ nhất?

Trả lời:

Bảng tích phân đầy đủ nhất

1. Bảng tích phân cơ bản

2. Tích phân từng phần

3. Tích phân lượng giác

4. Tích phân xác định

5. Tích phân không xác định

6. Tích phân hàm số hữu tỉ

Sau đây, bạn đọc hãy cùng với Top lời giải tìm hiểu thêm về Tích phân qua bài viết dưới đây nhé.

I. Lý thuyết tích phân

1. Tích phân là gì?

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b],F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a;b]. Hiệu F(b)–F(a) được gọi là tích phân của f từ a đến b. Kí hiệu:

2. Tính chất tích phân

Giả sử các hàm số f,g liên tục trên [a;b],c là điểm bất kì thuộc [a;b]. Khi đó ta có:

 

3. Dấu tích phân

Ký hiệu ∫ hình thành bởi sự kéo dài ký tự “𝑆” viết tắt của chữ “sum” (tổng) (Người Đức, Anh thời xưa viết chữ “𝑆” giống với ký hiệu tích phân bây giờ). ∑ là ký hiệu của “tổng”. Nó được dùng cho tổng hữu hạn hay vô hạn. ∫ là ký hiệu của tổng hữu hạn các diện tích vô cùng nhỏ (hoặc các biến vô cùng nhỏ khác). Ký hiệu chữ “𝑆” dài này được Lebniz giới thiệu khi ông phát triển một số khái niệm của tích phân.

4. Tích phân hằng số

5. Tích phân lũy thừa của 𝒙

Công thức này đúng khi 𝑛 ≠ −1. Khi tích phân lũy thừa của 𝑥, ta thêm 1 vào lũy thừa và chia biến lũy thừa mới cho giá trị lũy thừa mới.

>>> Xem thêm: Cách bấm máy tính tích phân

II. Công thức tích phân

1. Bảng tích phân cơ bản

2. Tích phân từng phần

Công thức tính tích phân từng phần:

Theo qui tắc lấy đạo hàm một tích:

Lấy tích phân cả hai vế ta được:

Từ đây ta có công thức sau:

3. Tích phân lượng giác

Giả sử ta cần tính tích phân

Trong đó R là hàm hữu tỉ của hai đối số. Ta có thể hữu tỉ hoá tích phân trên bằng cách đặt

Thật vậy: 

Do đó, có thể đưa ra tích phân I về dạng:

4. Tích phân xác định

Cách tính tích phân xác định:

- (𝑥) là nguyên hàm của 𝑓(𝑥).

- (𝑏) là giá trị nguyên hàm ứng với cận trên 𝑥 = 𝑏.

- (𝑎) là giá trị nguyên hàm ứng với cận dưới 𝑥 = 𝑎.

Biểu thức này gọi là tích phân xác định.

5. Tích phân không xác định

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm f trên một khoảng I nào đó được gọi là tích phân không xác định của hàm này trên khoảng I và được kí hiệu là f (x) dx: 

6. Tích phân hàm số hữu tỉ

Các phân thức hữu tỉ đơn giản nhất là các phân thức có dạng

Trong đó A,M,N,p,q là các số thực, k = 2,3,4…, còn tam thức bậc hai không có nghiệm thực, tức là p2 – 4q < 0 . Bây giờ ta hãy khảo sát tích phân các phân thức hữu tỉ trên:

III. Phương pháp biến đổi từ công thức tính tích phân

1. Kiến thức cần nhớ

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến t=u(x).

Dạng 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến x=u(t).

IV. Ứng dụng tích phân

1. Ứng dụng Công

Trong vật lý, công được hình thành khi một lực tác động vào một vật và gây ra sự dịch chuyển, ví dụ như lái xe đạp.

Nếu có một lực biến thiên, thay đổi, ta dùng tích phân để tính công sinh ra bởi lực này. Ta dùng: 

2. Ứng dụng giá trị trung bình

Giá trị trung bình của hàm (𝑥) trong miền 𝑥 = 𝑎 đến 𝑥 = 𝑏 được xác định bởi: Trung bình = 

3. Ứng dụng quãng đường

Nếu ta biết biểu thức vận tốc 𝑣 theo thời gian 𝑡, ta có thể biết quãng đường 𝑠 của một vật thể khi đi từ thời gian 𝑡 = 𝑎 đến 𝑡 = 𝑏 bằng tích phân như sau:

Chú ý: Bạn có thể thấy từ những ứng dụng của tích phân trong công, tính giá trị trung bình, tính quãng đường, tích phân xác định không chỉ đơn thuần dùng để tích diện tích dưới đường cong.