Công thức tích phân từng phần và ví dụ?

Tổng hợp Công thức tích phân từng phần đầy đủ, chi tiết nhất cùng một số dạng bài ví dụ về tích phân hay nhất, bám sát nội dung SGK Giải tích 12, giúp các bạn học tốt hơn.

Câu hỏi: Công thức tích phân từng phần và ví dụ?

Trả lời:

Công thức tích phân từng phần

Cho hai hàm số u và v có đạo hàm liên tục trên đoạn [a, b], thì ta có :

Hay

Ví dụ: Tính tích phân sau:

Lời giải:

Sau đây, bạn đọc hãy cùng với Top lời gải tìm hiểu thêm và tích phân bài viết dưới đây nhé.

1. Tích phân là gì?

Tích phân là một khái niệm được sử dụng rất phổ biến trong toán học cùng với nghịch đảo của nó là vi phân có vai trò quan trọng là hai phép tính cơ bản và chủ chốt trong lĩnh vực giải tích. 

Khái niệm tích phân được tách nghĩa theo tiếng Hán thì tích có nghĩa là tích cóp còn phân có nghĩa là từng phần nhỏ. Như vậy qua tách nghĩa ta có thể hiểu được tích phân là tổng của nhiều phần nhỏ. Còn theo định nghĩa của toán học thì định nghĩa tích phân sẽ là như sau:

Cho hàm f(x) liên tục trên một khoảng xác định, kí hiệu là K và có a,b là hai số thực bất kì thuộc khoảng K đó. Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì hiệu số của F(b)-F(a) sẽ được gọi là tích phân của f(x) trong khoảng từ a đến b. Từ đó, ta có ký hiệu như sau: 

Trong đó:

- ∫: là tích phân

- f(x)dx: là biểu thức dưới dấu tích phân

- dx: biến của tích phân. Trong Topo của toán học thì việc biểu diễn chính xác là dx sẽ được tách ra khỏi hàm được tích phân bằng một dấu cách.

Bên cạnh đó, ta có thể thay đổi biểu thức f(x)dx bằng biểu thức f(t)dt hoặc bất kỳ một đối số nào như f(y)dy, f(u)du dưới dấu tích phân cũng đều được.

>>> Xem thêm: Công thức tính tích phân lượng giác?

2. Phương pháp tính tích phân

Các cách tính tính tích phân cơ bản gồm 3 phương pháp:

Phương pháp tính trực tiếp: Đây là cách tính tích phân mà ta sử dụng bảng nguyên hàm để thay trực tiếp vào công thức Newton-Leibniz.

Ví dụ:

Tính tích phân sau:

Lời giải:

Vì nguyên hàm của sinx là −cosx nên:

Phương pháp giải toán tích phân bằng đổi biến: 

Một trong các phương pháp giải tích phân là sử dụng công thức đổi biến số:

Ví dụ:

Tính tích phân sau:

Lời giải

Ta nhận thấy mẫu số đạo hàm được tử số. Đây là dấu hiệu của phương pháp đổi biến. Áp dụng công thức đổi biến ta có:

Cách giải toán tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần:

Các dạng bài tập tích phân cần sử dụng tích phân từng phần khi hàm số dưới dấu tích phân thuộc một trong các loại: Đa thức-lượng giác; Đa thức-mũ; Logarit-đa thức; Mũ-lượng giác. Và tích phân đó không sử dụng được hoặc khó sử dụng phương pháp đổi biến.

Công thức tích phân từng phần:

Ví dụ:

Tính tích phân

Lời giải:

Chúng ta đặt u(x) theo thứ tự ưu tiên: ” Nhất lô nhì đa tam lượng tứ mũ”.

Các dạng tích phân đổi biến:

Dưới đây là tổng hợp các dạng tích phân và cách giải (cách đổi biến) thường gặp: