Tìm m để hàm số có 5 cực trị

Câu trả lời đúng nhất:

Cực trị của hàm số là giá trị mà hàm số đổi chiều biến thiên khi qua đó. Trong hình học, nó biểu diễn khoảng cách lớn nhất từ điểm này sang điểm kia và khoảng cách nhỏ nhất từ điểm này sang điểm nọ. Bài toán về Tìm m để hàm số có 5 cực trị rất phổ biến và sẽ có trong cả chương trình thi đại học của các bạn. Và để tìm hiểu nhiều hơn, hãy cùng Top lời giải đi tìm hiểu lần lượt các vấn đề nhé!

1. Phương pháp tìm m để hàm số đạt cực trị

Bài toán tổng quát: Cho hàm số y = ax³ + bx² + cx + d (a ≠ 0, a, b, c, d phụ thuộc vào tham số). Tìm giá trị của tham số để hàm số có cực đại, cực tiểu (cực trị) thỏa mãn điều kiện cho trước.

Phương pháp:

Bước 1: Tính y’ = 3ax² + 2bx + c, y’ = 0  ⇔ 3ax² +2bx + c = 0 (1)

Để hàm số có cực đại, cực tiểu  ⇔ y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt  ⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt

{a≠0Δ(Δ′)≠0 ⇔ Giá trị tham số thuộc miền D nào đó (*)

Bước 2:

Từ điều kiện cho trước dẫn tới một phương trình hoặc một bất phương trình theo tham số, giải phương trình này ta được tham số sau đó đối chiếu với điều kiện (*) và kết luận.

Một số điều kiện thường gặp:

- Để hàm số y = f(x) có 2 cực trị <=> {a≠0Δy′>0

- Để hàm số y = f(x) có 2 cực trị nằm về 2 phía đối với trục hoành <=> yCD.yCT<0

- Để hàm số y = f(x) có 2 cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung <=> xCD.xCT<0

- Để hàm số y = f(x) có 2 cực trị nằm phía trên trục hoành <=> {yCD+yCT>0yCD.yCT>0

- Để hàm số  y = f(x) có 2 cực trị nằm phía dưới trục hoành <=> {yCD+yCT<0yCD.yCT<0

- Để hàm số  y = f(x) có cực trị tiếp xúc với trục hoành <=> yCD.yCT=0

- Đồ thị có 2 điểm cực trị khác phía đối với đường thẳng d: Ax +By +C = 0

2. Tìm m để hàm số có 5 cực trị

Ví dụ 1: Cho đồ thị hàm số y = f’(x) như hình vẽ bên dưới. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = f(|x| + m) có 5 điểm cực trị?

Hướng dẫn giải:

Hàm số y = f(|x| + m) là hàm số chẵn

Với x > 0, y = f(|x| + m) = f(x + m) có y’ = f’(x + m)

y’ = f’(x + m) = 0

Hàm số y = f(|x| + m) có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi y = f(|x| + m) có hai điểm cực trị dương hay:

Vậy có 3 giá trị nguyên của m để hàm số y = f(|x| + m) có 5 điểm cực trị.

Chọn đáp án B

Ví dụ 2: Cho hàm số f(x) có đạo hàm f’(x) = (x + 1)²(x² – 4x). Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số g(x) = f(2x² – 12x + m) có đúng 5 điểm cực trị?

Hướng dẫn giải:

Ta có:

g’(x) = (4x – 12).f’(2x² – 12x + m)

= (4x – 12)(2x² – 12x + m + 1)²(2x² – 12x + m)(2x² – 12x + m – 4)

Hàm số g(x) có đúng 5 điểm cực trị

=> g’(x) đổi dấu 5 lần

=> g’(x) = 0 có 5 nghiệm đơn phân biệt

=> Phương trình 2x² – 12x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 3 và phương trình 2x² – 12x + m – 4 = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 3 và các nghiệm này khác nhau

Phương trình 2x² – 12x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 3 và phương trình 2x² – 12x + m – 4 = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 3

Vậy với điều kiện m < 18 giả sử hai phương trình có nghiệm chung là a

Thay x = a vào hai phương trình đã cho ta được

Do đó các nghiệm của hai phương trình 2x² – 12x + m = 0 và 2x² – 12x + m – 4 = 0 luôn khác nhau.

Mà m kaf số nguyên dương nên m ∈ {1; 2; 3; ….; 17}

=> Có 17 giá trị của m thỏa mãn điều kiện đề bài

Chọn đáp án A

Ví dụ 3: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∈ [-10; 10], để hàm số y = |mx³ – 3mx² + (3m – 2)x + 2 – m| có 5 điểm cực trị?

Hướng dẫn giải:

Xét các trường hợp như sau:

Trường hợp 1: Với m = 0

Thay vào hàm số y ta được y = |-2x + 2| có 1 điểm cực trị nên m = 0 loại

Trường hợp 2: Với m ≠ 0

Hàm số y = |mx³ – 3mx² + (3m – 2)x + 2 – m| có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi đồ thị hàm số f(x) = mx³ – 3mx² + (3m – 2)x + 2 – m cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

Xét phương trình

f(x) = 0

⇔ mx³ – 3mx² + (3m – 2)x + 2 – m = 0

⇔ (x – 1)(mx² – 2mx + m – 2) = 0

⇔ 

Để f(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt thì (*) có hai nghiệm phân biệt khác nghiệm x = 1

Do m ∈ [-10; 10] => m ∈ (0; 10]

Vậy có 10 giá trị của m thỏa mãn

Chọn đáp án D

>>> Xem thêm: Tìm m để hàm số có 3 cực trị

-----------------------

Trên đây, Top lời giải đã tổng hợp và trình bày chi tiết cho các bạn về Tìm m để hàm số có 5 cực trị để giúp các bạn học tốt môn Toán lớp 12 và chuẩn bị cho các kỳ thi đại học sắp tới.