Tìm m để hàm số có 3 cực trị

I. Tìm m để hàm số có 3 cực trị

Trước hết chúng ta cần giải thích 1 chút về từ ngữ. Ở đầu bài viết có viết “tìm m để hàm số có ba cực trị”. Viết như vậy không được chính xác với khái niệm của SGK. Vì điểm cực trị của hàm số khác với cực trị của hàm số. Chính xác thì hàm trùng phương bậc 4 chỉ có tối đa 2 cực trị. Và bài toán phải phát biểu lại là “tìm m để hàm số có ba điểm cực trị (hoặc 2 cực trị)”. Sau đây là điều kiện để hàm số trùng phương có 2 cực trị:

1. Phương pháp giải

- Bước 1: Đạo hàm y’ = 4ax³ + 2bx = 2x(2ax² + b) = 2x.g(x) với g(x) = 2ax² + b

y′=0⇔x=0

hoặc g(x) = 2ax² + b = 0 ⇔ x² = -2ab

Để hàm số  có 3 cực trị ⇔[y′=0] có 3 nghiệm phân biệt ⇔g(x)=0 có hai nghiệm phân biệt và khác 0 

⇒m ϵ D(∗)

Nhận xét: Phương trìnhy′=0 luôn có một nghiệm x = 0 và đồ thị hàm số ban đầu là hàm chẵn, nên các điểm cực trị đối xứng nhau qua Oy.

Giả sử ba điểm cực trị là A ∈ Oy, B và C đối xứng nhau qua Oy.

- Bước 2: Từ điều kiện cho trước dẫn tới một phương trình (hoặc bất phương trình) theo tham số. Giải phương trình này ta được giá trị của tham số, đối chiếu với điều kiện (*) và kết luận.

Ví dụ 1:

Cho hàm số y = 2x⁴ + (3m – 6)x² + 3m - 5

Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đã cho có ba điểm cực trị.

Lời giải:

Ví dụ 2: Cho hàm số y=x⁴–2(m+1)x²+m², với m là tham số thực. Tìm m để đồ thị hàm số trên có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông

Cách giải:

Đạo hàm y' =4x³−4(m+1)x

Ví dụ 3: tìm m để hàm số y=x⁴+(m+2015)x²+5 có 3 cực trị tạo thành tam giác vuông cân.

Cách giải:

Với a = 1, b = m +2015.

Ta có: 8a + b³ = 0⇒b³=−8⇒m=−2017

II. Ba điểm cực trị tạo thành tam giác đều

Ví dụ 1:

Cho hàm số y = -x⁴ + m ³√3x² + m + 2

Tìm m để đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác đều.

Lời giải:

Ví dụ 2: Tìm m để hàm số y=98x4+3(m−2017)x² có 3 cực trị tạo thành tam giác đều.

Cách giải:

Với a = 98, b = 3(m−2017)

ta có: 24a + b³ = 0⇒b³=−27⇒m = 2016

III. Ba điểm cực trị tạo thành tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng R

Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác có 3 đỉnh là ba cực trị hàm trùng phương:

Tìm m để hàm số có ba cực trị: Diện tích tam giác ABC