Cực trị là gì?

1. Định nghĩa cực trị

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b) và điểm x₀ ∈ (a; b).

+ Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(x₀), ∀x ∈ (x₀ – h ; x₀ + h), x ≠ x₀ thì ta nói hàm số f đạt cực đại tại x₀ .

+ Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x₀), ∀x ∈ (x₀ – h ; x₀ + h), x ≠ x₀ thì ta nói hàm số f đạt cực tiểu tại x₀ .

- Định lý 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K = (x₀ – h ; x₀ + h) (h > 0) và có đạo hàm trên K hoặc trên K ∖{ x₀ }.

- Định lý 2. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên khoảng K = (x₀ – h; x₀ + h) (h > 0).

+ Nếu f'(x₀) = 0, f”(x₀) > 0  thì x₀ là điểm cực tiểu của hàm số f.

+ Nếu f'(x₀) = 0, f”(x₀) < 0 thì x₀ là điểm cực đại của hàm số f.

Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị:

- Định lý 3: Giả sử hàm số ff liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm x₀ và có đạo hàm trên các khoảng (a; x₀)  và (x₀; b). Khi đó

Nếu 

 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x₀. Nói một cách khác, nếu f′(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x qua điểm x₀... thì hàm số đạt cực tiểu tại x₀.

b)  Nếu {f′(x₀)>0,x∈(a;x₀), f′(x₀)<0,x∈(x₀;b) thì hàm số đạt cực đại tại điểm x₀. Nói một cách khác, nếu f′(x) từ dương sang âm khi x qua điểm x₀ thì hàm số đạt cực đại tại x₀.

- Định lý 4. Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng (a,b) chứa điểm x₀,f′(x₀) = 0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x₀.

a) Nếu f′′(x₀)<0  thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x_o

b) Nếu f′′(x₀)>0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x₀.

Cực trị của hàm số bậc 3.

Cho hàm số: (y = f(x) = ax³ + bx² + cx + d (a ≠ 0))

Đạo hàm: (y’= f’(x) = 3ax² + 2bx + c

Điều kiện tồn tại cực trị: y = f(x) có cực trị khi y = f(x) có cực đại và cực tiểu.

2. Cực trị của hàm số lượng giác

Phương pháp tìm cực trị của hàm số lượng giác như sau:

- Bước 1: Tìm miền xác định của hàm số.

- Bước 2: Tính đạo hàm y’ = f’(x), giải phương trình y’=0, giả sử có nghiệm x=x₀.

- Bước 3: Khi đó: Tìm đạo hàm y’’.

Tính y’’(x₀) rồi đưa ra kết luận dựa vào định lý 2.

3. Cực trị của hàm số logarit

Chúng ta thực hiện theo các bước sau:

- Bước 1: Tìm miền xác định của hàm số.

- Bước 2: Tính đạo hàm y’, rồi giải phương trình  y’=0, giả sử có nghiệm x = x₀.

- Bước 3: Xét hai khả năng:

+ Nếu xét được dấu của y’: Khi đó: lập bảng biến thiên rồi đưa ra kết luận dựa vào định lý 2.

+ Nếu không xét được dấu của y’: Khi đó:

• Tìm đạo hàm y’’.
• Tính y’’(x₀) rồi đưa ra kết luận dựa vào định lý 3.

4. Quy tắc tìm cực trị

* Quy tắc 1: áp dụng định lý 2

- Tìm f′(x)

- Tìm các điểm x_i(i=1,2,3…) tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm.

- Xét dấu của f′(x). Nếu f′(x) đổi dấu khi x qua điểm x₀ thì hàm số có cực trị tại điểm x_o

* Quy tắc 2: áp dụng định lý 3

- Tìm f′(x)f

- Tìm các nghiệm x_i(i=1,2,3…) của f′(x)=0

- Với mỗi xi tính f′′(x_i).

+ Nếu f′′(x_i)<0  thì hàm số đạt cực đại tại điểm x_i.

+ Nếu f′′(x_i)>0  thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x_i.

5. Ví dụ

Ví dụ 1: Tìm cực trị của hàm số y = xe^-3x

Ta có: y ' = e^-3x - 3xe^-3x = e^-3x(1-3x)

=> y' = 0 ⇔ 1 - 3x = 0 ⇔ x = ⅓

Ta lại có:  y'' = -3e^-3x - 3(1-3x)e^-3x

Thay x = ⅓ vài y'' ta được y''(⅓) <0

Vậy hàm số đã cho có điểm cực đại là x = ⅓

Ví dụ 2: Tìm cực trị của các hàm số

Lời giải :

a) Hàm số đã cho xác định trên R.

Ta có : 

- Cách 1: Bảng biến thiên

Hàm số đạt cực đại tại điểm x = -1, f(-1) = 10/3 , hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 3, f(3) = -22/3 

- Cách 2: f′′(x)=2x−2

Vì f′′(−1)=−4<0 nên hàm số đạt cực đại tại điểm x = -1, f(-1) = 10/3 .

Vì f′′(3)=4>0 nên hàm số đạt cực đại tại điểm x = 3, f(3) = -22/3 .

b) 

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên R.

Ta có:

Hàm số liên tục tại x=0, không có đạo hàm tại x=0.

Bảng biến thiên

Hàm số đạt cực đại tại điểm x=−1,f(−1)=1.

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x=0,f(0)=0.