Công thức tính Thể tích của khối trụ tròn xoay

1. Khối tròn xoay là gì? 

   Trong không gian, khối tròn xoay là một khối hình được tạo bằng cách quay một mặt phẳng quanh một trục cố định.

   Trong chương trình toán học phổ thông các bạn sẽ được tiếp xúc với một số khối tròn xoay như khối nón tròn xoay, khối trụ tròn xoay, khối cầu tròn xoay,…

2. Định nghĩa khối trụ:

Hình trụ là hình có hai mặt đáy là hình bằng nhau và song song với nhau.

Hình trụ được gọi bằng cái tên đầy đủ hơn là hình trụ tròn

Hình trụ tiếng Anh là Cylinder

Khối hình trụ

Lưu ý:

Chỉ có lăng trụ tam giác chứ không có khái niệm hình trụ tam giác

Chỉ có hình lập phương chứ không có hình trụ vuông

3. Công thức tính thể tích hình trụ

Cho khối trụ có bán kính đáy r và chiều cao h. Công thức thể tích khối trụ đó là

Trong đó B là diện tích đáy và B=πr².

Thể tích trụ tròn

   Như vậy ta thấy cách tính thể tích hình trụ có điểm tương đồng với thể tích khối lăng trụ ở chỗ đều lấy diện tích đáy nhân với chiều cao.

4. Cách Tìm Các Đại Lượng Trong Bài Toán Tính Thể Tích Hình Trụ

a Tìm bán kính đáy

- Em có thể tính bất kì mặt đáy nào vì hai mặt đáy đều bằng nhau.

- Trong trường hợp chưa biết số đo bán kính đáy, em sử dụng thước để đo khoảng cách rộng nhất trên đường tròn rồi lấy kết quả đó chia cho 2 vì r = 1/2.d (d là kí hiệu của đường kính).

Ví dụ: Em đo được khoảng cách là 5 cm, để tìm được bán kính r, em lấy 5 : 2 = 2,5 (cm)

*Lưu ý : Đường kính là dây cung lớn nhất trong một hình tròn, chính vì vậy, khi đo đường kính, em chọn một mép đường tròn nằm ở điểm số 0 của thước đo, sau đó đo độ dài lớn nhất mà không làm mốc số 0 di chuyển để tìm ra độ dài của đường kính.

b. Tìm diện tích đáy tròn

- Để tìm diện tích đáy tròn, ta áp dụng công thức tính diện tích hình tròn: A = π.r² với A là kí hiệu diện tích đáy tròn, r là bán kính của hình tròn (mặt đáy hình trụ).

Ví dụ: Tính diện tích đáy tròn biết r = 6,5 cm.

=> Diện tích đáy tròn là: 3,14 x (6,5)² = 132, 665 (cm²)

c. Tìm chiều cao của hình trụ

- Định nghĩa chiều cao hình trụ: Khoảng cách của 2 đáy trên mặt bên.

- Trong trường hợp chưa biết chiều cao của hình trụ, em có thể lấy thước để đo chính xác độ dài của đường cao rồi thay vào công thức là tính được thể tích của hình trụ.

Ví dụ 1:

Cho khối trụ (H) có bán kính đáy bằng 3 cm và chiều cao bằng đường kính đáy. Tính thể tích khối trụ đã cho.

Lời giải:

Chiều cao của khối trụ là 6 (cm).

Vậy thể tích khối trụ là V=πr²h= π.3².6=54 (cm³).

5. Các dạng bài tập liên quan công thức tính thể tích hình trụ

   Trong công thức tính thể tích khối trụ có 3 đại lượng đó là thể tích (V), bán kính đáy (r), và chiều cao (h). Chú ý chiều cao h cũng chính bằng độ dài đường sinh của hình trụ. Từ đó ta có 3 dạng toán sau:

a. Cho bán kính đáy và chiều cao tính thể tích hình trụ

Ví dụ 2:

Cho khối trụ có đáy là hình tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh a. Chiều cao khối trụ bằng 3a. Tính thể tích khối trụ đã cho.

Lời giải:

b. Cho thể tích khối trụ và chiều cao tính bán kính đáy

Ví dụ 3:

Cho khối trụ có thể tích bằng πa³, chiều cao 2a. Tính bán kính đáy của khối trụ.

Lời giải:

c. Cho thể tích khối trụ và bán kính đáy tính chiều cao

Ví dụ 4:

Biết khối trụ có thể tích V=12π và chu vi một đáy là C=2π. Tính chiều cao của khối trụ đã cho.

Lời giải:

6. Dạng bài tập dây cung hình trụ

   Ở đây tạm gọi các bài tập dây cung hình trụ là dạng toán liên quan đến đoạn thẳng nối 2 điểm nằm lần lượt trên hai đường tròn đáy của hình trụ. Chứ không phải dây cung của đường tròn đáy.

    Nếu dây cung như vậy không trùng với 1 đường sinh thì dây cung đó sẽ nằm ở miền trong hình trụ. Ngược lại nếu dây cung trùng với một đường sinh thì dây cung đó nằm trên mặt xung quanh của hình trụ.

   Sau đây chúng ta xét 1 bài toán điển hình. Các bài toán khác có thể phát triển từ đây.

Công thức tính thể tích hình trụ tròn khi biết độ dài dây cung, góc và khoảng cách giữa dây cung với trục

Bài toán: Cho hình trụ (H) có hai đáy là hai đường tròn tâm O và O’. Điểm A và B lần lượt nằm trên đường tròn (O) và (O’). Biết rằng AB=a và AB tạo với trục OO’ góc α. Khoảng cách giữa AB và OO’ bằng d. Tính theo a và α thể tích khối trụ (H).

Xây dựng công thức:

  Gọi C là hình chiếu của A lên đường tròn (O’). Gọi I là trung điểm của BC. Dễn thấy ∠BAC là góc giữa dây AB và trục OO’. Tức là ∠BAC=α.

Công thức này khá cồng kềnh. Ta chỉ nên nhớ cách xác định góc và khoảng cách.

7. Các dạng bài tập liên quan tới tính thể tích hình trụ

Bài 1: Cho bán kính đáy và chiều cao, tính thể tích khối trụ

Cho hình trụ có đáy là hình tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh a. Chiều cao khối trụ bằng 3a. Tính thể tích khối trụ đã cho.

Giải:

Bán kính đáy của khối trụ là:

Thể tích của khối trụ đã cho là:

Bài 2: Cho thể tích khối trụ và chiều cao, tính bán kính đáy

Cho hình trụ có chiều cao 2a, thể tích bằng πa³. Tính bán kính đáy của hình trụ.

Giải:

Áp dụng công thức ta có:

Bài 3: Cho thể tích khối trụ, tính bán kính đáy và chiều cao

Cho hình trụ có chu vi một đáy là C=2π và thể tích V=12π. Chiều cao của hình trụ là bao nhiêu?

Giải:

Bán kính đáy của hình trụ là r =C / 2π = 1

Chiều cao của hình trụ bằng h= V / (π. r² ) = 12π / (π. 1²) = 12

Bài 4: Tính thể tích hình trụ tròn khi biết độ dài dây cung, góc và khoảng cách giữa dây cung với trục

Cho hình trụ (H) có 2 đáy là các đường tròn tâm O và O’. Điểm A, B lần lượt nằm trên đường tròn (O), (O’). Biết AB=a,  AB tạo với trục OO’ góc α. Khoảng cách giữa OO’ và AB bằng d. Tính theo a và α thể tích hình trụ (H).

Gọi C là hình chiếu của A lên đường tròn (O’). Gọi I là trung điểm của BC. Dễ thấy góc BAC là góc giữa dây AB và trục OO’. Tức là góc BAC = α.

Chiều cao khối trụ đã cho là h= OO’= AB cosα = a cosα

IC = ½ BC= a.sinα

O’I= d là khoảng cách giữa AB và OO’

Nên bán kính đáy khối trụ là:

Vậy thể tích khối trụ là: