Công thức tính nhanh số phức

Khái niệm số phức

Số phức có dạng z = a + bi, (a, b ∈ ℜ), trong đó a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo: i² = - 1

Tập hợp các số phức là C

Nếu a = 0, z = bi được gọi là số thuần ảo

Nếu b = 0 , z = a + 0i được gọi là số thực

Số 0 vừa là số thực, vừa là số ảo

Số đối của phức z = a + bi là -z = - a - bi

Các phép toán trên tập số phức

Cho hai số phức z₁ = a + bi, z₂ = c + di.

Hai số phức bằng nhau:

Tổng, hiệu hai số phức z₁ ± z₂ = (a ± b) + (b ± d)i.

Phép nhân hai số phức  z₁.z₂ = (a + bi) (c + di) = ac + adi + bci + bdi² = (ac - bd) + (ad + bc)i.

Phép chia hai số phức

Môđun của số phức, số phức liên hợp

Phương trình trên tập số phức

Công thức tính nhanh số phức hay được dùng trong các đề thi

Ví dụ áp dụng

Một số bài tập có lời giải số phức

Câu 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z - 3 + 4i| ≤ 2. Trong mặt phẳng Oxy tập hợp điểm biểu diễn số phức w = 2z + 1 - i là hình tròn có diện tích:

A. S = 9π    B. S = 12π.    C. S = 16π.    D.S = 25π.

Hướng dẫn:

Ta có:

<=> |w - 1 + i - 6 + 8i| ≤ 4 <=> |w - 7 + 9i| ≤ 4 (1)

Giả sử w = x + yi, khi đó (1) <=> (x - 7)² + (y + 9)² ≤ 16

Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức w là hình tròn tâm I(7; -9), bán kính r = 4

Vậy diện tích cần tìm là S = π.4² = 16π

Chọn C.

Câu 2: Cho số phức z thỏa mãn |z| = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

A.5    B.4    C.6    D.8

Hướng dẫn:

Ta có:

Khi z = i thì A = 6

Chọn C.

Câu 3. Cho số phức z thỏa mãn |z| = 1. Tìm giá trị lớn nhất max M và giá trị nhỏ nhất min M của biểu thức M = |z² + z + 1| + |z³ + 1|

A. max M = 5; min M = 1   B. max M = 5; min M = 2

C. max M = 4; min M = 1   D.max M = 4; min M = 2

Hướng dẫn:

Ta có: M ≤ |z|² + |z| + 1 + |z|³ + 1 = 5 ,

khi z = 1 thì M = 5 nên ma M = 5

Mặt khác:

khi z = -1 thì M = 1 nên min M = 1

Chọn A.

Câu 4. Cho số phức z thỏa |z| ≥ 2 . Tìm tích của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:

Hướng dẫn:

Chọn A.

Câu 5. Cho số phức z thỏa mãn |z| = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = |1 + z| + 3|1 - z|

Hướng dẫn:

Chọn D.

Câu 6. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z² + 4| = 2|z|. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Hướng dẫn:

Áp dụng bất đẳng thức |u| + |v| ≥ | u + v|, ta được:

2|z| + |-4| = |z² + 4| + |-4| ≥ |z|² => |z|² - 2|z| - 4 ≤ 0 => |z| ≤ √5 + 1.

2|z| + |z|² = |z² + 4| + |-z²| ≥ 4 => |z|² + 2|z| - 4 ≥ 0 => |z| ≥ √5 - 1

Vậy |z| nhỏ nhất là √5 - 1 khi z = -1 + i√5 và |z| lớn nhất là √5 + 1 khi z = 1 + i√5

Chọn B.

Hướng dẫn:

Gọi z₁ = a + bi; z₂ = a - bi.

Không mất tính tổng quát ta coi b ≥ 0

Do |z₁ - z₂| = 2√3 => |2bi| = 2√3 => b = √3

 đạt giá trị lớn nhất. Tính tích xy.

Hướng dẫn:

Câu 9. Biết số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện |z - 3 - 4i| = √5 và biểu thức M = |z + 2|² - |z - i|² đạt giá trị lớn nhất. Tính môđun của số phức z + i.

A. |z + i| = 2√41

B. |z + i| = 3√5

C. |z + i| = 5√2

D. |z + i| = √41

Hướng dẫn:

Gọi z = x + yi.

Ta có: |z - 3 - 4i| = √5 <=> (C): (x - 3)² + (y - 4)² = 5, tâm I(3; 4) và R = √5

Mặt khác:

M = |z + 2|² - |z - i|² = (x + 2)² + y² - [(x²) + (y - 1)²] = 4x + 2y + 3

<=> d: 4x + 4y + 3 - M = 0

Do số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện nên d và (C) có điểm chung

Câu 10. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: |z - 1 + 2i| = √5 và w = z + 1 + i có môđun lớn nhất. Số phức z có môđun bằng:

A. 2√5    B. 3√2

C. √6   D. 5√2

Hướng dẫn:

Mà M, N ∈ (C) nên MN lớn nhất khi MN là đường kính đường tròn (C)

Khi và chỉ khi I là trung điểm MN => M(3; 3) => z = 3 - 3i

Chọn B