Công thức tính nhanh tỉ số thể tích

I. BÀI TOÁN TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI CHÓP TAM GIÁC

Đây là bài tập 4 trang 25 trong sách giáo khoa Hình học 12 (Cơ bản).

Bài toán: (Công thức 1) Cho hình chóp S.ABC. Trên các đoạn thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm A’, B’, C’ khác với S. Chứng minh rằng

Chứng minh: 

Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A và A’ lên mặt phẳng (SBC).

Vì AH và A’K song song nên các điểm S, H, K, A, A’ đồng phẳng và ba điểm H, K, S cùng nằm trên đường giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (ASH). Vậy H, K, S thẳng hàng.

Ta có:

II. CÔNG THỨC TÍNH NHANH TỈ SỐ THỂ TÍCH

1. CÔNG THỨC TÍNH NHANH TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI CHÓP

Ngoài công thức ở mục I đã được chứng minh. Chúng ta có các công thức sau:

Công thức 2:

Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Trên các đoạn SA, SB, SC, SD lấy lần lượt các điểm A’, B’, C’, D’ khác S sao cho a+c=b+d. Trong đó:

Khi đó ta có tỉ số thể tích là

Ví dụ 1:

Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích bằng 77. Mặt phẳng (α) đi qua A cắt cạnh SC tại trung điểm N, cắt cạnh SB tại điểm M sao cho SM/SB=6/7 và cắt cạnh SD tại điểm P. Tính thể tích khối chóp S.AMNP.

Lời giải:

Áp dụng công thức tính nhanh với a=1, b=7/6, c=2 và d=a+c-b=1+2-7/6=11/6 ta có:

Công thức 3: Hai khối chóp chung chiều cao

Công thức này rất đơn giản và hiển nhiên nhưng ta lại hay thường gặp trong giải toán. Cụ thể, nếu hai khối chóp (H) và (H’) có diện tích hai đáy lần lượt là S và S’. Đồng thời có cùng chiều cao h. Thì ta có:

Ví dụ 2:

Cho khối chóp S.ABC. Điểm M thuộc đoạn AB sao cho AB=4AM. Điểm N thuộc đoạn AC sao cho AC=3AN. Gọi V và V’ lần lượt là thể tích các khối chóp S.AMN và S.ABC. Biết V’=kV. Tìm k.

Lời giải:

Hai khối chóp S.AMN và S.ABC chung đỉnh và chung mặt đáy nên chung chiều cao.

Do đó:

Công thức 4: Hai khối đa diện đồng dạng tỉ số k.

Hai khối đa diện (H) và (H’) được gọi là đồng dạng tỉ số k nếu có 1 phép đồng dạng F tỉ số k biến (H) thành (H’). Khi đó giả sử AB là 1 cạnh của (H) và F(AB)=A’B’ thì A’B’=kAB. Gọi V và V’ lần lượt là thể tích của (H) và (H’), khi đó ta có tỉ số thể tích sau:

Ví dụ 3:

Cho khối chóp S.ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Gọi V là thể tích khối chóp S.MNPQ. Tính V biết thể tích khối chóp S.ABCD bằng 12.

Lời giải:

Dễ thấy phép vị tự tâm S tỉ số 2 biến khối chóp S.MNPQ thành khối chóp S.ABCD.

Do đó:

2. CÔNG THỨC TÍNH NHANH TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ

Công thức 5: Khối lăng trụ tam giác

Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Trên các cạnh bên AA’, BB’, CC’ lấy lần lượt các điểm M, N, P. Khi đó ta có tỉ số sau:

Công thức 6: Khối lăng trụ đáy là hình bình hành (khối hộp)

Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’. Trên các cạnh bên AA’, BB’, CC’, DD’ lấy lần lượt các điểm M, N, P, Q sao cho M, N. P, Q đồng phẳng. Khi đó ta có tỉ số sau: