Cách xác định nhanh góc giữa hai đường thẳng chéo nhau

1. ĐỊNH NGHĨA GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Trong không gian cho 2 đường thẳng a, b bất kỳ.

Từ một điểm O nào đó ta vẽ 2 đường thẳng a′, b′ lần lượt song song với a và b. Ta nhận thấy rằng khi điểm O thay đổi thì góc giữa 2 đường thẳng a′ và b′ không thay đổi.

Do đó ta có định nghĩa:

Định nghĩa: Góc giữa 2 đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa 2 đường thẳng a′ và b′ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b.

2. CÁCH XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Để xác định góc giữa hai đường thẳng a và b chéo nhau, ta sử dụng các cách sau:

3. PHƯƠNG PHÁP TÍNH GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Để tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian chúng ta cần nhớ các công thức sau:

 4. BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI

Bài 2: Cho hình chóp SABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và BC = a√2. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC.

Hướng dẫn giải toán

Góc giữa hai véc tơ AB và SC là 1200 → Góc hai đường thẳng AB và SC là góc nhọn = 1800 – 1200 = 600

 Bài 3: Cho tứ diện ABCD có AB=CD=2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD, MN = a√3. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD?

Hướng dẫn giải 

Sử dụng cách 2 để tìm góc giữa hai đường thẳng. Từ một điểm kẻ lần lượt 2 đường thẳng song song 2 đường AB,CD

Gọi I là trung điểm của BD. Ta có:

Xét tam giác IMN có:MI là đường trung bình của tam giác BCD, NI là đường trung bình của tam giác DBA

Góc giữa hai véc tơ AB và CD là 1200 → Góc hai đường thẳng AB và CD là góc nhọn = 1800 – 1200 = 600

 Bài 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng a. Tính góc giữa hai đường thẳng AC, DA’

Phương pháp: Sử dụng tích vô hướng  để tính góc giữa hai đường thẳng AC, DA’

Hai véc tơ AD và BC có cùng phương, cùng hướng → góc hai véc tơ AD và BC bằng 00

Tính độ dài AC và A’D

Vì AC và A’D là hai đường chéo của hình vuông có cạnh bằng a. AC = A’D

Sử dụng định lý Pitago trong tam giác vuong ABC ta có

Góc hai đường thẳng AB và CD là góc nhọn = 600

Bài 5:  Cho lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng a. Tính góc giữa hai đường thẳng chéo nhau 

Hướng dẫn giải toán

 Bài 6: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a√3. Hình chiếu vuông góc của A’ lên mp(ABC) là trung điểm của BC. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA’ và B’C’?

Hướng dẫn giải toán