Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng

I. Phương pháp giải bài toán tìm m để hàm số đơn điệu trên khoảng

Trước hết ta đã có định lý sau: Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b).

Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (a;b) khi và chỉ khi f'(x)≥0 với mọi giá trị x thuộc khoảng (a;b). Dấu = chỉ được xảy ra tại hữu hạn điểm.

Tương tự, hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b) khi và chỉ khi f'(x)≤0 với mọi giá trị x thuộc khoảng (a;b). Dấu = chỉ được xảy ra tại hữu hạn điểm.

Như vậy muốn hàm số  f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b) thì f(x) cần phải xác định và liên tục trên khoảng (a;b).

Chú ý: Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm f’(x) > 0 trên khoảng (a;b) thì hàm số f đồng biến trên đoạn [a;b]. Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm f’(x) < 0 trên khoảng (a;b) thì hàm số f nghịch biến trên đoạn [a;b].

Do đó để giải quyết bài toán tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng cho trước hay tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng cho trước thì ta nên thực hiện theo thứ tự như sau:

+ Kiểm tra tập xác định: Vì bài toán có tham số nên ta cần tìm điều kiện của tham số để hàm số xác định trên khoảng (a;b).

+ Tính đạo hàm và tìm điều kiện của tham số để đạo hàm không âm (âm) hoặc không dương (dương) trên khoảng (a;b): Theo định lý trên chúng ta cần xét dấu của đạo hàm trên khoảng (a;b). Do đó đương nhiên chúng ta phải tính đạo hàm.

II. Định lí mở rộng

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.

a) Nếu f’(x) ≥ 0 với mọi x thuộc K và f’(x) = 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm của K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.

b) Nếu f’(x) ≤ 0 với mọi x thuộc K và f’(x) = 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm của K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.

Phương pháp

1. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.

+ Nếu f′(x)≥0,∀x∈K thì f(x) đồng biến trên K.

+ Nếu f′(x)≤0,∀x∈K thì f(x) nghịch biến trên K.

2. Cho tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c có biệt thức Δ = b² – 4ac.Ta có:

3. Xét bài toán: “Tìm m để hàm số y = f(x,m) đồng biến trên K”. Ta thực hiện theo các bước sau:

- Bước 1. Tính đạo hàm f’(x,m).

- Bước 2. Lý luận: Hàm số đồng biến trên K⇔f′(x,m)≥0,∀x∈K⇔m≥g(x),∀x∈K(m≤g(x))

- Bước 3. Lập bảng biến thiên của hàm số g(x) trên K. Từ đó suy ra giá trị cần tìm của tham số m.

Sử dụng định lý về điều kiện cần

+ Nếu hàm số f (x) đơn điệu tăng trên R thì f′(x)⩾0,∀x∈R.

+ Nếu hàm số f (x) đơn điệu giảm trên R thì f′(x)⩽0,∀x∈R

III. Phân dạng bài tập tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng

Chúng ta sẽ tìm hiểu 6 dạng như sau để có cái nhìn tổng quan nhất về các bài tập biện luận tham số m liên quan đến tính đồng biến và nghịch biến trên khoảng của hàm số.

Dạng 1. Tìm m để hàm số bậc 3 đơn điệu trên khoảng

Dạng 2: Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R

Phương pháp giải: sử dụng định lý về điều kiện cần

+ Nếu hàm số  f đồng biến trên R thì  f ‘(x) ≥ 0 với mọi x ∈ R

+ Nếu hàm số  f nghịch biến trên R thì  f ‘(x) ≤ 0 với mọi x ∈ R

Dạng 3: Tìm m để hàm số khác đơn điệu trên khoảng

Hàm số khác ở đây ám chỉ các loại hàm đa thức bậc cao. Phương pháp chung là đặt ẩn hoặc biến đổi để về các dạng hàm số cơ bản hoặc tính f’ và giải như bình thường.