Hàm số tuần hoàn là gì?

Hàm số tuần hoàn là hàm số lặp lại giá trị của nó trong những khoảng đều đặn hay chu kỳ. Ví dụ quan trọng nhất của những hàm tuần hoàn đó là các hàm lượng giác, mà lặp lại trong khoảng 2π . Hàm tuần hoàn được sử dụng thường xuyên để miêu tả các dao động, sóng, và những hiện tượng khác thể hiện tính tuần hoàn.

Mời các bạn tìm hiểu thêm kiến thức về hàm số tuần hoàn qua bài viết dưới đây nhé!

1. Định nghĩa hàm tuần hoàn

Hàm số f được nói là tuần hoàn nếu đối với hằng số khác 0, ta có:

f(x) + P = f (x)

Đối với mọi x trong miền xác định. Hằng số P khác 0 được gọi là chu kỳ của hàm số. Nếu sống sót ít nhất[1] một hằng số P có thuộc tính này, nó được gọi là chu kỳ căn bản (hoặc chu kỳ cơ sở, chu kỳ gốc.) phổ biến, khi nhắc tới chu kỳ của hàm số thì được hiểu là chu kỳ căn bản của nó. Một hàm số với chu kỳ P sẽ lặp lại trên những khoảng có độ dài P lần, và những khoảng này thỉnh thoảng cũng được coi là chu kỳ của hàm số.

Về mặt hình học, hàm số tuần hoàn có thể được định nghĩa như là một hàm nhưng đồ thị của nó biểu lộ đối xứng tịnh tiến. chi tiết, một hàm f tuần hoàn theo chu kỳ P nếu đồ thị của f là định hình dưới phép tịnh tiến theo hướng x bởi vì một khoảng cách P.

Khái niệm về tính tuần hoàn này có thể mở mang ra cho những đối tượng hình học khác, cũng như tổng quát hóa cho nhiều chiều, tỉ dụ như lát mặt phẳng bằng lưới hình (tessellation). Một dãy có thể coi như một hàm có miền xác định trên các số tự nhiên, và một dãy tuần hoàn làm theo khái niệm ở trên.

>>> Xem thêm: Hàm số nào sau đây là hàm số bậc nhất?

2. Xét tính tuần hoàn của các hàm số lượng giác

a. Hàm số y = sinx và y = cosx, tuần hoàn với chu kì 2π.

Mở rộng: Hàm số y = sin(ax + b) và y = cos(ax + b) với a ≠ 0 tuần hoàn với chu kì 2πa.

b. Hàm số y = tanx và y = cotx, tuần hoàn với chu kì π.

Mở rộng: Hàm số y = tan(ax + b) và y = cot(ax + b) với a ≠ 0 tuần hoàn với chu kì πa.

c. Cùng với kết quả của định lý:

Định lí: Cho cặp hàm số f(x), g(x) tuần hoàn trên tập M có các chu kì lần lượt là a và b với ab ∈ Q. Khi đó, các hàm số F(x) = f(x) + g(x),  G(x) =  f(x).g(x) cũng tuần hoàn trên M.

Mở rộng: Hàm số F(x) = mf(x) + ng(x) tuần hoàn với chu kì T là bội số chung nhỏ nhất của a, b.

3. Thí dụ về hàm số tuần hoàn:

Thí dụ 1. Hãy xem những hàm số nào trong các hàm số cho dưới đây là hàm tuần hoàn và xác định chu kì nhỏ nhất (nếu có) của chúng:

a. f(x) = tan(3x – π/6 ).

b. f(x) = 2cos2(2x + π/3).

Giải

a. Hàm số tuần hoàn với chu kì T = π/3.

b. Viết lại hàm số dưới dạng: f(x) = 2cos2 (2x + π/3) = 1 + cos(4x + 2π/3).

Do đó f(x) là hàm tuần hoàn với chu kì 2π/4 = π/2.

Thí dụ 2. Chứng minh rằng mỗi hàm số đều tuần hoàn với chu kì π:

a. y = -sin2x.

b. y = 3tan2x + 1.

Giải

Để chứng minh hàm số y = f(x) tuần hoàn với chu kì π, ta đi chứng minh: f(x + kπ) = f(x) với k ∈ Z , x thuộc tập xác định của hàm số.

a. Sử dụng tính chất tuần hoàn của hàm số cosin (cụ thể cos(α + 2kπ) = cosα), ta có ngay: 

f(x + kπ) = -sin2 (x + kπ) = -12[1 – cos(2x + 2kπ)] = -12(1 – cos2x) = -sin2x = f(x) với mọi x.

b. Sử dụng tính chất tuần hoàn của hàm số tang (cụ thể tan(α + kπ) = tanα), ta có ngay: 

f(x + kπ) = 3tan2 (x + kπ) + 1 = 3tan2x + 1 = f(x) với mọi x.

4.  Hàm suy rộng tuần hoàn:

Hàm tuần hoàn chu kỳ T là hàm mà đồ thị của nó không thay đổi khi ta dịch chuyển nó một véc-tơ song song với trục hoành có độ dài . 

Để định nghĩa hàm suy rộng tuần hoàn ta trước hết định nghĩa phép dịch chuyển (như trong cuốn “Generalized functions” của R. P. Kanwal).

Nếu f là hàm thông thường thì nó cũng được hiểu là hàm suy rộng, một cách tự nhiên, bởi công thức tích phân. Khi đó phép dịch chuyển T_yf(x) cho ta một hàm suy rộng mà về bản chất nó cũng là hàm thông thường T_yf(x) = f (x - y)