Công thức tính tích phân lượng giác?

Cùng Top lời giải trả lời chi tiết, chính xác câu hỏi: “Công thức tính tích phân lượng giác?” và đọc thêm phần kiến thức tham khảo giúp các bạn học sinh ôn tập và tích lũy kiến thức bộ môn Toán 12

Công thức tính tích phân lượng giác?

- Giả sử ta cần tính tích phân:

- Trong đó R là hàm hữu tỉ của hai đối số. Ta có thể hữu tỉ hoá tích phân trên bằng cách đặt t = tan x/2

- Thật vậy:

- Do đó, có thể đưa ra tích phân về dạng

Kiến thức tham khảo về tích phân

1. Tích phân là gì?

- Tích phân là một khái niệm toán học và cùng với nghịch đảo của nó vi phân (differentiation) đóng vai trò là 2 phép tính cơ bản và chủ chốt trong lĩnh vực giải tích (calculus). Có thể hiểu đơn giản tích phân như là diện tích hoặc diện tích tổng quát hóa. Giả sử cần tính diện tích một hình phẳng được bao bởi các đoạn thẳng, ta chỉ việc chia hình đó thành các hình nhỏ đơn giản hơn và đã biết cách tính diện tích như hình tam giác, hình vuông, hình thang, hình chữ nhật, ... Tiếp theo, xét một hình phức tạp hơn mà nó được bao bởi cả đoạn thẳng lẫn đường cong, ta cũng chia nó thành các hình nhỏ hơn, nhưng bây giờ kết quả có thêm các hình thang cong. Tích phân giúp ta tính được diện tích của hình thang cong đó.

- Hoặc giải thích bằng toán học như sau: Cho một hàm f của một biến thực x và một miền giá trị thực [a, b]. Như vậy một tích phân xác định (definite integral) từ a đến b của f(x), ký hiệu là: ∫^b_a f(x)dx được định nghĩa là diện tích của một vùng trong không gian phẳng xy được bao bởi đồ thị của hàm f, trục hoành, và các đường thẳng x = a và x = b, sao cho các vùng trên trục hoành sẽ được tính vào tổng diện tích, còn dưới trục hoành sẽ bị trừ vào tổng diện tích.

- Ta gọi a là cận dưới của tích phân, còn b là cận trên của tích phân.

- Cho F(x) là nguyên hàm của f(x) trong (a, b). Khi đó, tích phân bất định (indefinite integral) được viết như sau: 

Nhiều định nghĩa tích phân có thể được xây dựng dựa vào lý thuyết độ đo (measure). Ví dụ, tích phân Riemann dựa trên độ đo Jordan, còn tích phân Lebesgue dựa trên độ đo Lebesgue. Tích phân Riemann là định nghĩa đơn giản nhất của tích phân và thường xuyên được sử dụng trong vật lý và giải tích cơ bản.

2. Tính chất của tích phân xác định

- Tích phân tại một giá trị xác định của biến số thì bằng 0:

- Đảo cận thì đổi dấu: 

- Hằng số trong tích phân có thể được đưa ra ngoài dấu tích phân: 

- Tích phân một tổng bằng tổng các tích phân:

- Tách đôi tích phân: 

- So sánh giá trị của tích phân:  

3. Phương pháp tính tích phân

a. Phương pháp đổi biến số

- Định lí: Cho hàm số f(x) liên tục trên [a;b]. Giả sử hàm số x = φ(t) có đạo hàm liên tục trên đoạn [α;β] sao cho φ(α)=a, φ(β)=b và a ≤ φ(t) ≤ b , ∀t ∈ [α;β] . 

- Chú ý: Có thể dử dụng phép biến đổi số ở dạng sau:

- Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Giả sử hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b] sao cho α ≤ u(x) ≤ β, ∀ x∈ [a;b]. Nếu f(x) = g[u(x)].u’(x) ∀ x∈ [a;b], trong đó g(u) liên tục trên đoạn [α;β]

b. Phương pháp tính tích phân từng phần

4. Ứng dụng của tích phân

a. Tính diện tích hình phẳng

- Nếu hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b]; trục hoành và hai đường thẳng x = a; x = b, thì diện tích S được cho bởi công thức: 

Chú ý: Để tính tích phân trên, ta xét dấu của f(x) trên đoạn [a,b]. Nếu f(x) không đổi dấu trên khoảng (c;d) ⊂ [a;b] thì:

- Nếu hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y=f1(x) và y=f2(x) liên tục trên đoạn [a;b] và hai đường thẳng x=a, x=b thì diện tích S được cho bởi công thức:

- Chú ý: Để tính tích phân trên, ta xét dấu f(x) = f1(x) − f2(x) trên đoạn [a;b] hoặc tìm nghiệm của nó trên khoảng (a;b), sau đó áp dụng tính chất nêu ở chú ý trên.  

b. Tính công

Trong vật lý, công được hình thành khi một lực tác động vào một vật và gây ra sự dịch chuyển, ví dụ như lái xe đạp.

Nếu có một lực biến thiên, thay đổi, ta dùng tích phân để tính công sinh ra bởi lực này. 

c. Tính thể tích vật thể

Một vật thể được giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ x = a, x = b (a < b). S(x) là diện tích của thiết diện. Thể tích của vật thể được cho bởi công thức: 

d. Tính quãng đường

- Nếu ta biết biểu thức vận tốc v theo thời gian t, ta có thể biết quãng đường s của một vật thể khi đi từ thời gian t = a đến t = b bằng tích phân như sau: 

- Chú ý: Bạn có thể thấy từ những ứng dụng của tích phân trong công, tính giá trị trung bình, tính quãng đường, tích phân xác định không chỉ đơn thuần dùng để tích diện tích dưới đường cong.