Argument của số phức là gì?

Đáp án và lời giải chính xác cho câu hỏi: “Argument của số phức là gì?” cùng với kiến thức mở rộng do Top lời giải tổng hợp, biên soạn về Toán học 12 là tài liệu học tập bổ ích dành cho thầy cô và các bạn học sinh tham khảo.

Argument của số phức là gì?

- Trong từng sách khác nhau thì định nghĩa về argument của số phức có thể khác nhau. Lý do là khi ta quay điểm biểm biểu diễn số phức quanh gốc tọa độ 1 vòng thì giá trị của số phức không đổi. Nếu có sự khác nhau về khái niệm argument của số phức thì không lấy làm lạ.

- Giả sử M(z) là điểm biểu diễn số phức z. Argument của số phức z (z≠0) (ký hiêu: Arg(z) chữ A viết in hoa) là góc định hướng giữa chiều dương của trục thực và tia OM(z) thỏa mãn -π. 

- Rõ ràng nếu z=a+bi (a,b∈R) thì Arg(z)=Arctan(b/a).

Kiến thức tham khảo về số phức.    

1. Argument của số phức       

- Trong mặt phẳng phức, cho số phức z ≠ 0 được biểu diễn bởi vecto OM với M(a ; b).

- Góc lượng giác vecto Ox, vecto OM = φ + k2π, k ∈ Z. Số đo của mỗi góc lượng giác trên được gọi là một acgumen của z.

- Gọi φ là một acgumen và r > 0 là môđun của số phức z = a + bi khác 0 thì dạng lượng giác của z là:

z = r(acosφ + isinφ)

- Ghi chú:

+ φ là một acgumen của số phức z, các acgumen khác của z là φ + k7π (k ∈ Z).

+ |z| = 1 ⇔ z = cosφ + isinφ, (φ ∈ R).

+ z = 0 thì |z| = r = 0 nhưng acgumen của z không xác định hoặc xem như tuỳ ý.

2. Cách chuyển đổi các dạng số phức từ dạng đại số sang lượng giác

- Để chuyển đổi z từ dạng z = a+bi sang z= r( cosφ +isinφ), trước hết ta cần tìm module và argument của số phức.

- Trước hết, ta cần đồng nhất thức bằng việc cho a +bi = r( cosφ +isinφ)

- Sau khi biến đổi sẽ được kết quả sau: {r=a2+b2 a= rcosφ, b= rsinφ  suy ra: {r=a2+b2,cosφ= ar, sinφ= br= ba2+b2 = aa2+b2

- Với cách làm này, bạn có thể đổi số phức sang góc một cách dễ dàng.

3. Phép nhân và chia các số phức ở dạng lượng giác.

a. Nhân hai số phức dạng lượng giác

- Cho hai số phức dạng lượng giácz1 = r1 (cosφ1 + isinφ1 )và z2 = r2 (cosφ2 + isinφ2 ). Khi đó z = z1z2 được cho bởi công thức :

- Từ đó ta có số phức z = z1 z2 có modun và argumen thỏa mãn r = r1 r2 và φ =φ1 + φ2.

b. Chia hai số phức dạng lượng giác

- Cho hai số phức dạng lượng giác: z1 = r1 (cosφ1+isinφ1 ) và z2 = r2 (cosφ2 + isinφ2 ). Khi đó số phức:

được cho bởi công thức :

- Từ đó ta có số phức:

- Lũy thừa tự nhiên của số phức dưới dạng lượng giác (công thức Moirve).

- Khai căn số phức dưới dạng lượng giác.

- Mọi số phức z khác 0 đều có đúng n căn bậc n, là các số dạng

4. Mô đun của số phức

- Modun (Tiếng Anh: modulus hoặc absolute) của số phức z=a+bi (a,b∈R) là căn bậc hai số học (hay căn bậc hai không âm) của a²+b². Chẳng hạn như 3+4i có 3²+4²=25 nên modun của 3+4i bằng 5. Ta cũng ký hiệu modun của z=a+bi là |z| hoặc |a+bi|. Với lưu ý số thực cũng là một số phức. Ta cũng dễ nhận thấy rằng trị tuyệt đối của một số thực cũng chính là modun của số thực đó. Do đó đôi khi ta cũng gọi mô đun của số phức là giá trị tuyệt đối cúa số phức.

- Ví dụ

- Về mặt hình học, mỗi số phức z=a+bi (a,b∈R) được biểu diễn bởi một điểm M(z)=(a;b) trên mặt phẳng Oxy và ngược lại. Khi đó modun của z được biểu diễn bởi độ dài đoạn thẳng OM(z). Rõ ràng, modun của z là một số thực không âm và nó chỉ bằng 0 khi z=0.

* Tính chất modun của số phức

- Với mô đun của số phức, ta dễ dàng chứng minh được các tính chất sau:

+ Hai số phức đối nhau có mô đun bằng nhau. Tức là |z|=|-z|.

+ Hai số phức liên hợp có mô đun bằng nhau. Tức là |a+bi|=|a-bi|.

+ Mô đun của z bằng 0 khi và chỉ khi z=0.

+ Tích của hai số phức liên hợp bằng bình phương mô đun của chúng

+ Mô đun của một tích bằng tích các mô đun

+ Mô đun của một thương bằng thương các mô đun

5. Số phức liên hợp

- Có thể thấy, số phức liên hợp là gì là câu hỏi được nhiều bạn học sinh khá quan tâm. Dưới đây là những kiến thức cụ thể về số phức liên hợp là gì.

- Như đã biết, số phức là một biểu thức có dạng a+ bi, với i² = -1 . Đây là những số thực và được ký hiệu dưới Z= a+bi, . Vậy số phức liên hợp là gì? Z=a-bi được gọi là số phức liên hợp

- Một số tính chất của số phức liên hợp

6. Tìm căn bậc n của số phức

* Khái niệm căn bậc n:

- Cho số phức z, một số phức w được gọi là căn bậc n của số phức z nếu wn = z.

- Để tìm căn bậc n của số phức z ta cần giả sử số phức z đã cho là z = r(cosφ + isinφ), và số phức w là w = r’(cosφ’ + isinφ’) Khi đó điều kiện w n = z tương đương với: ⌈r’(cosφ’ + isinφ’) ⌉n = r(cosφ + isinφ).

- Tiếp tục biến đổi bằng cách công thức lượng giác, ta sẽ tìm được căn bậc n của số phức z.