Log trong toán học là gì?

Trong toán học, logarit (log) là phép toán nghịch đảo của lũу thừa. Logarit có nhiều tính chất và các dạng bài tập khác nhau.

Để hiểu rõ hơn về Logarit và Log trong toán học là gì, mời các bạn đến với phần nội dung dưới đây nhé!

1. Định nghĩa về Logarit

Phép cộng, phép nhân và lũy thừa là ba trong các phép toán số học cơ bản nhất. Phép toán ngược lại với phép cộng là phép trừ, ngược lại với phép nhân là phép chia. Một cách tương tự, logarit là phép toán ngược lại với lũy thừa. Lũy thừa tức là khi một số b, gọi là cơ số, được nâng lên lũy thừa y, gọi là số mũ, để cho giá trị x, ký hiệu là: b^y = x

Ví dụ: 2 nâng lên lũy thừa 3 bằng 8, vì 8 là tích của ba thừa số 2 nhân với nhau: 2³ = 2 × 2 × 2 = 8. Phép lũy thừa có thể được mở rộng cho mọi số thực y.

Logarit cơ số b chính là phép toán ngược, cho giá trị là y từ một số x ban đầu. Có nghĩa là, y = log_bx tương đương với x = b^y với b là số thực dương. (Nếu b không phải là số thực dương, phép lũy thừa và logarit vẫn xác định nhưng có thể cho các giá trị khác nhau, dẫn đến việc định nghĩa phức tạp hơn.)

Logarit cơ số 10 (b = 10) được gọi là logarit thập phân và có nhiều ứng dụng trong khoa học và kỹ thuật. Logarit tự nhiên có cơ số là hằng số e (b ≈ 2,718) và được ứng dụng phổ biến nhất trong toán học và vật lý, đặc biệt là vi tích phân. Logarit nhị phân sử dụng cơ số 2 (b = 2) và được sử dụng nhiều nhất trong khoa học máy tính.

a) Định nghĩa

Cho hai số dương a, b với a≠1. Nghiệm duy nhất của phương trình ba_x=b được gọi là log_ab ( tức là số α có tính chất là a_α=ba_α=b).

Như vậy log_ab=α⇔a_α=log_ab=α⇔a_α=b.

Ví dụ: log₄16=2log₄16=2 vì 42=1642=16.

b) Logarit thập phân và logarit tự nhiên

- Có 2 loại logarit đó là: logarit thập phân và logarit tự nhiên.

- Logarit cơ số 10 còn được gọi là logarit thập phân, số log₁₀b thường được viết là logb hoặc lgb.

- Logarit cơ số e (với e= ≈ 2,718281828459045) còn được gọi là logarit tự nhiên, số log_eb thường được viết tắt là lnb.

c) Tính chất của Logarit

Các tính chất của Logarit có thể chia ra thành các nhóm sau đây:

- Logarit của đơn vị và Logarit của cơ số

Với cơ số tùy ý, ta luôn có log_a1=0 và log_aa=1

- Phép mũ hóa và phép Logarit hóa theo cùng cơ số

+ Mũ hóa số thực α theo cơ số a là tính a^α

+ Logarit hóa số dương b theo cơ số a là tính log_ab là hai phép toán ngược nhau ∀a,b > 0 (a≠1)

a^log_aα = log_aa^α =α

log_ab^α=αloga = b

- Logarit và các phép toán

- Đổi cơ số: Có thể chuyển các phép toán lấy logarit cơ số khác nhau về việc tính logarit theo cùng một cơ số chung, cụ thể là

Nhận xét: Nhờ công thức đổi số logarit, khi biết logarit cơ số α, ta có thể tính được logarit cơ số bất kỳ. Chẳng hạn, có thể tính được các logarit cơ số 2, cơ số 3 theo logarit cơ số 10.

Đặc biệt:

+a > 1 → log_ab > log_ac ↔ b>c>0

+ 0 < a < 1 → log_ab > log_ac ↔ 0 < b < c

Xem thêm: Công thức đổi cơ số logarit

2. Log trong toán học

Trong toán học, logarit (log) là phép toán nghịch đảo của lũу thừa. Điều đó có nghĩa logarit của một ѕố là ѕố mũ của một giá trị cố định, gọi là cơ ѕố, phải được nâng lên lũу thừa để tạo ra con ѕố đó. Trong trường hợp đơn giản logarit là đếm ѕố lần lặp đi lặp lại của phép nhân. Ví dụ, logarit cơ ѕố 10 của 1000 là 3, ᴠì 10 mũ 3 là 1000 (1000 = 10 × 10 × 10 = 10³); phép nhân được lặp đi lặp lại ba lần. Tổng quát hơn, lũу thừa cho phép bất kỳ ѕố thực dương nào có thể nâng lên lũу thừa ᴠới ѕố mũ thực bất kỳ, luôn luôn tạo ra một kết quả là ѕố dương, ᴠì ᴠậу logarit có thể được tính toán cho bất kỳ hai ѕố dương thực a ᴠà b trong đó a≠1.

3. Vai trò của Logarit trong phân tích thuật toán

Logarit có vai trò trong việc mô tả các thuật toán chia nhỏ một vấn đề thành nhiều vấn đề con rồi hợp các kết quả lại với nhau.

Chẳng hạn, để tìm một số trong một mảng đã sắp xếp, thuật toán tìm kiếm nhị phân sẽ kiểm tra phần tử đứng giữa mảng và tiếp đến kiểm tra nửa khoảng nằm trước hoặc nằm sau phần tử đứng giữa nếu không tìm thấy số đó. Thuật toán này cần trung bình log₂(N) bước so sánh với N là số phần tử của mảng. Tương tự, thuật toán sắp xếp trộn sắp xếp một mảng bằng cách chia đôi thành hai mảng con và sắp xếp chúng trước khi gộp lại các kết quả. Thuật toán sắp xếp trộn thường tốn một khoảng thời gian xấp xỉ tỉ lệ thuận với N · log(N). Cơ số của logarit không được nhắc đến cụ thể, vì kết quả chỉ thay đổi theo một hằng số nhất định khi dùng cơ số khác. Người ta không quan tâm đến hằng số đó khi phân tích thuật toán dưới mô hình chi phí thống nhất tiêu chuẩn.

Một hàm số f(x) được gọi là hàm số tăng logarit nếu f(x) tỉ lệ thuận với logarit của x. (Tuy nhiên, một số tài liệu sinh học sử dụng thuật ngữ này đối với hàm mũ khi viết về sự sinh trưởng của sinh vật. Chẳng hạn, mọi số tự nhiên N đều có thể được biểu diễn dưới dạng nhị phân sử dụng không quá log₂(N) + 1 bit. Nói cách khác, lượng bộ nhớ cần dùng để lưu trữ N tăng theo logarit của N.

Hi vọng với những chia sẻ trên đây của Top lời giải về Logarit sẽ giúp các bạn hiểu rõ và học tập tốt hơn. Cảm ơn bạn đã đọc bài viết!