Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp?

Câu hỏi: Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp?

Trả lời:

Bảng nguyên hàm số thường gặp

Bạn đọc hãy cùng với Top lời giải tìm hiểu thêm về nguyên hàm qua bài viết dưới đây nhé.

I. Nguyên hàm là gì?

1. Định nghĩa

Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x ∈ K.

 Kí hiệu: ∫ f(x)dx = F(x) + C.

Định lí:

1) Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.

2) Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số.

Do đó F(x) + C; C ∈ R là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K.

2. Tính chất của nguyên hàm

- (∫ f(x)dx)' = f(x) và ∫ f'(x)dx = f(x) + C.

- Nếu F(x) có đạo hàm thì: ∫d(F(x)) = F(x) + C).

- ∫ kf(x)dx = k∫ f(x)dx với k là hằng số khác 0.

- ∫[f(x) ± g(x)]dx = ∫ f(x)dx ± ∫g(x)dx.

3. Sự tồn tại của nguyên hàm

Định lí:

- Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

4. Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp

>>> Xem thêm: Cách tính nguyên hàm bằng máy tính

II. Các phương pháp tìm nguyên hàm

* Để tìm họ nguyên hàm của một hàm số y=f(x) , cũng có nghĩa là ta đi tính một tích phân bất định : 

. Ta có ba phương pháp :

- Phương pháp phân tích . 

- Phương pháp đổi biến số . 

- Phương pháp tích phân từng phần

Do đó điều quan trọng là f(x) có dạng như thế nào để ta nghiên cứu có thể phân tích chúng sao cho có thể sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản để tìm được nguyên hàm của chúng . Hoặc sử dụng hai phương pháp còn lại

Phương pháp tìm nguyên hàm bằng cách phân tích

1. Trường hợp : f(x) là một hàm đa thức

Cách tìm

Sử dụng công thức tìm nguyên hàm của hàm số:

Do đó nguyên hàm của f(x) là:

Ví dụ: Tìm nguyên hàm các hàm số sau:

Giải:

2. Trường hợp f(x) là phân thức hữu tỉ

- Trường hợp: Bậc của P(x) cao hơn hoặc bằng bậc của Q(x) , thì bằng phép chia đa thức ta lấy P(x) chia cho Q(x) được một đa thức A(x) và một số dư R(x) mà bậc của R(x) thấp hơn bậc của Q(x). Như vậy tích phân của A(x) ta tính được ngay ( như đã trình bày ở trên). Do vậy ta chỉ ngiên cứu cách tìm nguyên hàm của f(x) trong trường hợp bậc tử thấp hơn bậc của mẫu , nghĩa là f(x) có dạng:

Trước hết ta ngiên cứu cách tìm nguyên hàm của f(x) có một số dạng đặc biệt.

Hay:

Ví dụ: Hãy tính các tích phân sau :

* Chú ý: Ta có thể tìm M,N bằng cách khác là thay lần lượt hai nghiệm của mấu số vào hai tử số , ta được hai phương trình .Từ hai phương trình ta suy ra M,N . Các bước tiếp theo lại làm như trên .

Ví dụ. Tìm nguyên hàm các hàm số sau:

Giải:

Cách 1:

Cách 2:

Kết luận:

- Trường hợp mẫu số không có nghiệm thực có nghiệm thực (Tức là mẫu số vô nghiệm). 

Ta phân tích như ở ví dụ 5- cách 1 

- Trường hợp mẫu số có nhiều nghiệm thực đơn 

Ta phân tích giống như ví dụ 5a- cách 2. 

- Trường hợp mẫu số có cả trường hợp không có nghiệm thực và trường hợp có nhiều nghiệm thực đơn.

Ta sử dụng cả hai phương pháp trên .

3. Nguyên hàm các hàm số lượng giác

a. Sử dụng các dạng nguyên hàm cơ bản

Dạng 3: Tính tích phân bất định

Dạng 4. Tính tích phân bất định:

Phương pháp chung

Ta có thể lựa chọn hai cách biến đổi 

Cách 1: Ta có

Chú ý: Chúng ta cũng có thể thực hiện bằng phương pháp đại số hóa với việc đổi biến số bằng cách đặt

Dạng 5: Tính tích phân bất định sau:

Phương pháp chung

Ta thực hiện theo các bước sau:

Dạng 6. Tính tích phân bất định:

Ta thực hiện theo các bước sau:

Dạng 7. Tính tích phân bất định :

Dạng 8. Tính tích phân bất định :

Dạng 9. Tính tích phân bất định :

Phương pháp chung

Ta thực hiện theo các bước sau :

Dạng 10. Tính tích phân bất định:

Ta thực hiện theo các bước sau:

4. Sử dụng phép biến đổi lượng giác đa về các nguyên hàm cơ bản.

Bài toán: Xác định nguyên hàm các hàm số lượng giác bằng các phép biến đổi lượng giác

Phương pháp chung

Sử dụng phép biến đổi lượng giác , đưa biểu thức dưới dấu tích phân về dạng quen thuộc . Các phép biến đổi lượng giác bao gồm : 

Phép biến đổi: Tích thành tổng ( Chúng ta đã thấy ở bài toán 1)

Các kỹ thuật biến đổi khác .

5. Sử dụng phương pháp biến đổi: Tích sang tổng .

Ở đây chúng ta sử dụng các công thức :

Sau đó sử dụng công thức nguyên hàm :

6. Sử dụng công thức hạ bậc

Ta nhớ lại các công thức sau :

7. Sử dụng nhiều phép biến đổi khác nhau . 

Trong phương pháp này dòi hỏi học sinh cần linh hoạt vận dụng các công thức lượng giác. Ngoài ra còn biết cách định hướng để biến đổi sao cho sử dụng được bảng nguyên hàm .

III. Phương pháp tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số

Phương pháp đổi biến số được sử dụng khá phổ biến trong việc tính các tích phân bất định. Phương pháp đổi biến số để xác định nguyên hàm có hai dạng dựa trên định lý sau :

Từ đó ta trình bày hai bài toán về phương pháp đổi biến số như sau :

Bài toán 1: 

Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 1 tính tích phân bất định :

Phương pháp chung

Ta thực hiện theo các bước sau :

* Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là :

Bài toán 2: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 2 để tính tích phân

Phương pháp chung

Ta thực hiện theo các bước sau :

* Chú ý: Ta có một số dấu hiệu để đổi biến thường gặp :

IV. Phương pháp tích phân từng phần

1. Công thức:

Chứng minh: Giả sử hai hàm số : u=u(x) và v=v(x) liên tục và có đạo hàm . 

Cho nên : d(u.v)=v.du+u.dv . 

Suy ra : u.dv=d(u.v)-v.du và 

2. Các dạng toán thường gặp

Bài toán 1: Sử dụng công thức tích phân từng phàn để tính

Phương pháp chung

Ta thực hiện theo các bước sau :

Bài toán 2: Tính tích phân bất định dạng :

Phương pháp chung

Ta lựa chọn một trong hai cách sau : 

Cách 1: Sử dụng tích phân từng phần , thực hiện theo các bước sau :

+/  Bước 2: Thay vào công thức tích phân từng phần.

+/ Bước 3: Tiếp tục thủ tục như trên ta sẽ khử được bậc của đa thức . 

Cách 2: ( Sử dụng phương pháp hệ số bất định ) . Ta thực hiện theo các bước sau.

Trong đó : A(x) và B(x) là các đa thức cùng bậc với P(x). 

+/ Bước 2: Lấy đạo hàm hai vế của (1) :

P x c ( ) osax=A'(x)cosax-A(x)a.sinax+B'(x)sinax+aB(x)cosax

+/ Bước 3: sử dụng phương pháp hệ số bất định ta xác định được A(x) và B(x).

* Nhận xét: Nếu bậc của đa thức lớn hơn 3 , thì cách 1 tỏ ra cồng kềnh , vì khi đó ta thực hiện số lần tích phân từng phần bằng với số bậc của đa thức. Cho nên ta đi đến nhận định như sau : 

- Nếu bậc của đa thức lớn hơn hoặc bằng 3: Ta sử dụng cách 2. 

- Nếu bậc của đa thức nhỏ hơn hoặc bằng 2: Ta sử dụng cách 1.

Bài toán 3: Tính tích phân bất định :

Phương pháp chung

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần , theo các bước sau :

Bước 2: Thay vào công thức tích phân từng phần 

Chú ý: Riêng đối với dạng tích phân này bao giờ cũng phải lấy tích phần từng phần hai lần .

Bài toán 4: Tính tích phân bất định :

Phương pháp chung

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần .Ta tiến hành theo các bước sau

Bài toán 5: Tính tích phân bất định :

Phương pháp chung

Ta lấy tích phân từng phần , theo các bước sau :

Bước 2: Thay vào công thức tích phân từng phần , ta được một tích phân quen thuộc mà có thể tinh được bằng hai phương pháp đã biết