Tổng hợp công thức logarit đầy đủ và các dạng toán logarit thường gặp

Logarit được hiểu cơ bản là một phép toán nghịch đảo của lũy thừa được viết tắt là: Log. Theo cách định nghĩa này ta có thể suy ra Logarit của một số chính là số mũ của một cơ số cố định nâng lên lũy thừa để tạo ra được một số khác.

I. Các công thức logarit

1. Các công thức Logarit cơ bản

2. Công thức đạo hàm Logarit

3. Công thức mũ Logarit

4. Công thức Logarit Nepe

Một số công thức thường gặp cần lưu ý:

III. Các dạng bài tập Logarit và phương pháp giải

Dạng 1: Giải bài toán Logarit bằng cách đưa về cùng cơ số

Phương pháp:

- Bước 1: Tìm điều kiện của phương trình đã cho

- Bước 2: Đưa các Logarit xuất hiện trong phương trình về cùng cơ số thông qua định nghĩa cùng tính chất của Logarit.

- Bước 3: Biến đổi phương trình đã cho về dạng phương trình Logarit cơ bản đã biết cách giải.

- Bước 4: Đối chiếu với điều kiện đã tìm ở bước 1 (nếu có) và đưa ra kết luận.

Dạng 2: Giải phương trình Logarit bằng cách mũ hóa

Cho phương trình: loga[f(x)] = logb[g(x)] (với a>0 và a#1)

Ta đặt: loga[f(x)] = logb[g(x) = t

Sau đó, ta thực hiện khử x trong hệ phương trình để thu được 1 phương trình chứa ẩn t rồi giải phương trình tìm được t. Từ giá trị t biết được ta tìm được x.

Ví dụ: Giải phương trình dưới dây:

a. log₃(x+1) = log₂(2x)

b. log₃(5x) = log₂(x+2)

Giải:

Dạng 3: Đặt ẩn phụ để giải phương trình Logarit 

Phương pháp:

Xét phương trình: f[logag(x)] = 0 (0 < a #1). Ta giải phương trình theo các bước:

- Bước 1: Đặt t = log₂g(x) (1)

- Bước 2: Tìm điều kiện của t theo x trong phương trình nếu có.

- Bước 3: Đưa phương trình về dạng f(t) = 0 đã biết cách giải.

- Bước 4: Với giá trị t tìm được thay vào phương trình (1) để tìm x.

Trong quá trình biến đổi phương trình, ta cần áp dụng một số những lưu ý quan trọng sau:

Dạng 4: Sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình Logarit

Phương pháp:

Xét phương trình có dạng: f(x) = g(x) (2). Để giải được phương trình này ta cần thực hiện theo các bước như sau:

- Bước 1: Nhẩm được một nghiệm bất kỳ x0 của phương trình đã cho, thông thường nghiệm lân cận 0 sẽ được ưu tiên để chọn.

- Bước 2: Xét các hàm số: y = f(x) (D1) và y = g(x) (D2)

Chứng minh một hàm đơn điệu và một hàm không đổi hay một hàm đồng biến và một hàm nghịch biến. Nghiệm duy nhất của phương trình (2) chính là điểm giao duy nhất giữa (D1) và (D2) và có hoành độ x0.

Hoặc đưa về dạng f(x) = 0 để giải phương trình:

- Bước 1: Nhẩm được 2 nghiệm x₁, x₂ của phương trình và thường sẽ chọn nghiệm lân cận 0.

- Bước 2: Xét hàm số y = f(x) và chứng minh f(x) =0 có nghiệm duy nhất đồng thời đổi dấu khi đi qua nghiệm đó. Sau đó ta suy ra phương trình f(x) = 0 có đối đa là 2 nghiệm.

Hoặc:

- Bước 1: Từ phương trình đã cho biến đổi về dạng f(u) = f(v)

- Bước 2: Chứng minh cho hàm số f(x) là một hàm đơn điệu. Từ đó có thể suy ra u = v.

Ví dụ: Giải phương trình sau: log3(x+2) + log7(3x+4) = 2

Giải: 

Điều kiện của phương trình: x > -2 và x > – 4⁄3 => x > – 4⁄3.

Nhẩm nghiệm của phương trình có 1 nghiệm là: x =1

Đặt: f(x) = log3(x+2) + log7(3x+4) => f(x) > 0, do đó mà hàm f(x) đồng biến trên tập xác định và g(x) = 2 là một hàm hằng. Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất: x = 1.

Dạng 5: Giải phương trình Logarit chứa tham số

Xét dạng toán tìm m để phương trình có số nghiệm cho trước theo yêu cầu.

Bước 1: Tách m ra khỏi biến số x rồi đưa về dạng: f(x) = A(m).

Bước 2: Xét hàm số f(x), khảo sát sự biến thiên của nó trên D.

Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên để xác định được giá trị của tham số A(m) sao cho đường thẳng y = A(m) cắt đồ thị hàm số y = f(x).

Bước 4: Tìm được giá trị A(m) sao cho f(x) = A(m) có nghiệm hoặc là vô nghiệm trên D.

Ví dụ: Cho phương trình: log₂(5^x – 1).log₄(2.5^x – 2) = m. Hãy tìm tham số m sao cho phương trình đã cho có nghiệm thực x ≥ 1.

Giải:

Để phương trình đã cho có nghiệm thực x ≥ 1 thì phương trình (*) có nghiệm: