Tổng hợp công thức hình học 12 đầy đủ kèm bài tập vận dụng

Trong chương trình học môn Hình học 12 tập trung chủ yếu về hình học không gian. Hình học không gian khá là khó nếu như cúng ta không tập trung và có tư duy tìm hiểu. Thấu hiểu được sự khó khăn đó, Top lời giải đã tổng hợp công thức hình học 12 đầy đủ kèm bài tập vận dụng để các em làm tốt các bài thi về hình học. Cùng tham khảo nhé!

1. Công thức về khối đa diện

a. Công thức tính thể tích hình chóp

Hình chóp là một khối đa diện có mặt đáy là hình đa giác và các mặt bên được tạo thành bởi các hình tam giác có chung đỉnh. Công thức chung để tính thể tích hình chóp cụ thể như sau:

Trong đó:

V là thể tích hình chóp

S là diện tích mặt đáy

h là chiều cao hình chóp

Hình tứ diện đều là một loại hình chóp đặc biệt có tất cả các mặt là tam giác đều có cạnh bằng nhau. Các em nên ghi nhớ các công thức tính hình tứ diện đều dưới đây để giải bài tập nhanh hơn:

Trong đó, a là độ dài các cạnh của hình tứ diện đều.

Hình chóp tứ giác đều là một loại hình chóp đặc biệt có mặt đáy là hình vuông và các mặt bên đều là tam giác cân. Dưới đây là một số công thức tính hình chóp tứ giác đều:

b. Công thức tính khối lăng trụ

* Hình lăng trụ thường

Khối lăng trụ có đặc điểm:

Hai đáy là hình giống nhau và nằm trong hai mặt phẳng song song.

Các cạnh bên song song và bằng nhau. Các mặt bên là các hình bình hành.

Thể tích V = h.Sđ

* Hình lăng trụ đứng

Các cạnh bên cùng vuông góc với hai mặt đáy nên mỗi cạnh bên cũng là đường cao của lăng trụ. Lăng trụ tam giác đều là lăng trụ đứng và có hai đáy là tam giác đều bằng nhau

* Hình hộp

Hình hộp chữ nhật là khối hộp có 6 mặt hình chữ nhật. Để tính thể tích hình hộp chữ nhật, các em vận dụng công thức sau:

V=a.b.c

Trong đó:

a là chiều rộng mặt đáy hình hộp chữ nhật

b là chiều dài mặt đáy hình hộp chữ nhật

c là chiều cao hình hộp chữ nhật

Hình lập phương là khối hộp có 6 mặt đều là hình vuông. Dưới đây là công thức tính thể tích hình lập phương đơn giản, dễ nhớ:

V=a³

Trong đó:

a là cạnh của các mặt khối lập phương

2. Công thức hình nón

Hình nón là hình được tạo thành khi quay một tam giác vuông một vòng quanh một cạnh góc vuông.

Trong đó:

r là bán kính mặt đáy

h là chiều cao hình nón

3. Công thức hình cầu

Trong các công thức toán hình 12 của khối đa diện, các em cũng nên lưu ý đến công thức tính thể tích hình cầu như sau:

Trong đó:

R là bán kính khối cầu

4. Công thức mặt trụ

Đ/n: Mặt trụ được hình thành khi quay hình chữ nhật ABCD quanh đường sinh trung bình OO’

5. Công thức tính tỉ số thể tích

Các công thức toán hình 12 cũng đề cập đến nội dung về tỉ số thể tích, cụ thể như sau:

Công thức tính một số đường đặc biệt

Ngoài ra, các em cũng cần lưu ý một số công thức toán hình 12 của một số đường đặc biệt như sau:

- Đường chéo của hình vuông có cạnh là a thì có giá trị là a√2

- Đường chéo của hình lập phương có cạnh là a thì có giá trị là a√3

- Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c được tính theo công thức √a² + b² + c²

- Đường cao của tam giác đều có cạnh là a thì có giá trị là a√³/2

5. Công thức hình phẳng

a. Hệ thức lượng trong tam giác

Đối với tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH thì ta có một số hệ thức lượng như sau:

Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh lần lượt là a, b, c, độ dài đường trung tuyến là ma, mb, mc, bán kính của đường tròn nội tiếp là R, bán kính đường tròn nội tiếp là r, nửa chu vi là p thì ta có các hệ thức sau:

Định lý hàm số côsin:

Định lý hàm số sin

Độ dài của đường trung tuyến:

b. Công thức tính diện tích

Hình tam giác:

Hình chữ nhật:

S=a.b (a, b là chiều dài và chiều rộng)

Hình vuông:

S=a² (a là cạnh hình vuông)

Hình thang:

(a, b là cạnh đáy và chiều cao)

Tứ giác có hai đường chéo vuông góc:

(AC và BD là 2 đường chéo vuông góc của tứ giác.

6. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Tính tỉ số giữa thể tích của khối hộp đó và thể tích của khối tứ diện ACB’D’.

Lời giải:

Gọi S là diện tích đáy và h là chiều cao của khối hộp ABCD.A’B’C’D’.

Chia khối hộp thành tứ diện ACB’D’ và bốn khối chóp A.A’B’D’, C.C’B’D’, B’.BAC, D’.DAC.

Bốn khối chóp A.A’B’D’, C.C’B’D’, B’.BAC, D’.DAC đều có diện tích đáy bằng S²S² và chiều cao bằng h, nên tổng các thể tích của chúng là:

Bài 2: Cho khối chóp S.ABC. Trên các đoạn thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm A’, B’, C’ khác với S. Chứng minh rằng:

Lời giải:

Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và A’ trên mp(SBC),

Đặt AH = h¹ và A’K = h² ,

S¹ và S² lần lượt là diện tích của hai tam giác SBC và SB’C’.

* Do A’K// AH nên bốn điểm A, A’; K và H đồng phẳng. (1)

Lại có, 3 điểm A, S, H đồng phẳng (2).

Từ (1) và (2) suy ra, 5 điểm A, A’, S. H và K đồng phẳng.

Trong mp(ASH) ta có: 

⇒ Ba điểm S, H và K thẳng hàng.

* Ta có:

Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đều bằng a. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó.

Lời giải:

S.ABCD là hình chóp tứ giác đều cạnh đều bằng a

⇒ ABCD là hình vuông cạnh a và SA = SB = SC = SD = a.

Gọi O là hình chiếu của S trên (ABCD).

⇒ O là tâm hình vuông ABCD

⇒ OA = OB = OC = OD = OS.

⇒ O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD,

bán kính mặt cầu là 

Bài 4: ho hình trụ có bán kính r, trục OO' = 2r và mặt cầu đường kính OO'.

a) Hãy so sánh diện tích mặt cầu và diện tích xung quanh của hình trụ.

b) Hãy so sánh thể tích khối trụ và thể tích khối cầu được tạo nên bởi hình trụ và mặt cầu đã cho.

Lời giải:

a. Do trục OO’= 2r nên chiều cao của khối trụ là h = 2r.

Mặt cầu có đường kính là OO’= 2r nên bán kính của mặt cầu là: R = r

Bài 5: Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và cạnh BD vuông góc với cạnh BC. Biết AB = AD = a. Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích của khối nón được tạo thành khi quay đường gấp khúc BDA quanh cạnh AB.

------------------------------------

Như vậy, Top lời giải vừa tổng hợp công thức hình học 12 đầy đủ kèm bài tập vận dụng một cách chi tiết và dễ hiểu. Hy vọng những kiến thức trên sẽ giúp các em giải các bài tập về môn hình học lớp 12 tốt hơn. Nếu thấy bài viết hữu ích, hãy chia sẻ cho Top lời giải nhé!