Bài 1.21 trang 39 SGK Toán 11 Tập 1 Kết nối tri thức

Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

Bài 1.21 trang 39 SGK Toán 11 Tập 1 Kết nối tri thức

Một quả đạn pháo được bắn ra khỏi nòng pháo với vận tốc ban đầu v₀ = 500 m/s hợp với phương ngang một góc α. Trong Vật lí, ta biết

rằng, nếu bỏ qua sức cản của không khí và coi quả đạn pháo được bắn ra từ mặt đất thì quỹ đạo của quả đạn tuân theo phương trình y = − g/v²0cos2α + xtanα, ở đó g = 9,8 m/s2 là gia tốc trọng trường.

a) Tính theo góc bắn α tầm xa mà quả đạn đạt tới (tức là khoảng cách từ vị trí bắn đến điểm quả đạn chạm đất).

b) Tìm góc bắn α để quả đạn trúng mục tiêu cách vị trí đặt khẩu pháo 22 000 m.

c) Tìm góc bắn α để quả đạn đạt độ cao lớn nhất.

Lời giải:

Vì v0 = 500 m/s, g = 9,8 m/s² nên ta có phương trình quỹ đạo của quả đạn là 

y = − 9.82 . 500²cos2α . x² + xtanα 

Hay 

y = − 49 / 2500000cos2α . x² + xtanα

a) Quả đạn chạm đất khi y = 0, khi đó y = − 49 / 2500000cos²α . x² + xtanα

⇔ x (− 49 / 2500000cos²α . x + tanα)=0

⇔ x = 0 hoặc x = 2500000cos²α × tanα / 49

⇔ x = 0 hoặc x = 2500000cosα.sinα / 49

⇔ x = 0 hoặc x = 1250000sin2α / 49

Vậy tầm xa mà quả đạn đạt tới là x = 1250000sin2α / 49 (m).

b) Để quả đạn trúng mục tiêu cách vị trí đặt khẩu pháo 22000 m thì x = 22000 m.

Khi đó 1250000sin2α / 49 = 22000

⇔ sin2α = 539/625

Gọi β ∈ [−π/2; π/2] là góc thỏa mãn β = 539/625. 

Ta có: sin 2α = sin β

⇔ 2α = β + k2π hoặc 2α = π − β + k2π (k∈Z)

⇔ α = β/2 + kπ hoặc α = π/2 − β/2 + kπ (k∈Z)

c) Hàm số y = − 49 / 2500000cos²α . x² + xtanα là một hàm số bậc hai có đồ thị là một parabol có tọa độ đỉnh I(x_I; y_I) là

x_I = − b2a 

= − tanα / 2× − 49 / 2500000cos²α

= 1250000cosαsinα / 49

y_I = f(x_I) = − 49 / 2500000cos²α . (1250000cosαsinα / 49)² + 1250000cosαsinα / 49 . tanα

Hay x_I = 1250000cosαsinα / 49; y_I = 625000sin²α / 49

Vậy, độ cao lớn nhất của quả đạn là y_max = 625000sin²α / 49

Do đó, y_max = 625000sin²α / 49 ≤ 625000 / 49

dấu “=” xảy ra khi sin²α = 1 hay α = 90°

Vậy góc bắn α = 90° thì quả đạn đạt độ cao lớn nhất.

* Kiến thức vận dụng giải bài tập

Dựa vào công thức nghiệm tổng quát: tanx = m <=> tanx = tanα <=> x = α + kπ (k ∈ Z).