2 đường thẳng trùng nhau khi nào?

Câu trả lời chính xác nhất:

Cho hai đường thẳng:

d:y=ax+b(a≠0) và d′:y=a′x+b′(a′≠0), 2 đường thẳng trùng nhau khi: a = a’ và b = b’.

Như vậy, hai đường thẳng trùng nhau nằm “chồng khít” lên nhau.

Để giúp các bạn hiểu hơn 2 đường thẳng trùng nhau khi nào? Toploigiai mời các bạn đọc bài viết sau.

1. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng

Cho hai đường thẳng:

d:y=ax+b(a≠0) và d′:y=a′x+b′(a′≠0)

a. 2 đường thẳng cắt nhau.

- Hai đường thẳng cắt nhau khi a ≠ a’.

- Trường hợp đặc biệt của hai đường thẳng cắt nhau: Hai đường thẳng vuông góc với nhau khi a.a’ = -1.

Ví dụ: Hai đường thẳng y=x và y=−2x+3 có hệ số a≠a′ (1≠−2) nên chúng cắt nhau.

>>> Xem thêm: Khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song trong không gian?

b. 2 đường thẳng song song

- Hai đường thẳng song song khi  a = a’ và b ≠ b’.

Ví dụ: Hai đường thẳng y = 2x và y = 2x + 3 có a = a' = 2 và b ≠ b' (0 ≠ 3) nên hai đồ thị trên song song với nhau.

c. 2 đường thẳng trùng nhau.

- Hai đường thẳng trùng nhau khi: a = a’ và b = b’.

Ví dụ: Hai đường thẳng y=3x+1 và y=3x+1 có hệ số a=a′(=3) và b=b′(=1) nên chúng trùng nhau.

>>> Xem thêm: Hai đường thẳng cắt nhau tạo ra hai góc đối đỉnh thì?

2. Các dạng toán thường gặp về Đường thẳng song song, đường thẳng cắt nhau và đường thẳng trùng nhau

Dạng 1: Chỉ ra vị trí tương đối của hai đường thẳng cho trước. Tìm tham số m để các đường thẳng thỏa mãn vị trí tương đối cho trước.

Phương pháp:

Cho hai đường thẳng d:y=ax+b(a≠0) và d′:y=a′x+b′(a′≠0)

+) d//d′⇔a=a′; b≠b′

+) d cắt d′⇔a≠a′

+) d≡d′⇔a=a′; b=b′

Dạng 2: Phương trình đường thẳng

* Phương pháp chung:

- Bước 1: Tìm điểm đi qua A.

- Bước 2: Tìm VTCP Vecto u của đường thẳng.

- Bước 3: Viết phương trình tham số hoặc chính tắc của đường thẳng biết hai yếu tố trên.

+) Đi qua hai điểm.

+) Đi qua một điểm và song song với một đường thẳng.

* Phương trình tổng quát

Các dạng đặc biệt của phương trình đường thẳng

∆∶ ax + c = 0 (a≠0) khi ∆ song song hoặc trùng với Oy

∆∶ by + c = 0 (b≠0) khi ∆ song song hoặc trùng với Ox

∆∶ ax + by = 0 (a2 + b2 ≠ 0) khi ∆ đi qua gốc tọa độ.

* Phương trình đoạn chắn của đường thẳng

Một đường thẳng cắt trục Ox và Oy tại 2 điểm lần lượt là A(a;0), B(0;b) có phương trình đoạn chắn như sau:

 * Phương trình chính tắc của đường thẳng không gian Oxyz

3. Bài tập về đường thẳng song song, cắt nhau và trùng nhau.

Bài 1: Cho đường thẳng (d) có dạng: y= (m+1)x -2m. Tìm m để:

a, Đường thẳng (d) đi qua điểm A(3;-1)

b, Đường thẳng (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là -1

c, Đường thẳng (d) song song với đường thẳng (d’): y=-2x+2

d, Đường thẳng (d) vuông góc với đường thẳng y= -3x-1

e, Đường thẳng (d) có hệ số góc là 3

f, Đường thẳng (d) có tung độ gốc là √2

g, Đường thẳng (d) có góc tạo bởi đường thẳng (d) và trục Ox là góc tù

Hướng dẫn giải

a, Cho (d): y= (m+1)x -2m.

Điểm A(3;-1) thuộc (d)

⇔ -1 = (m+1).3 - 2m

⇔ -1 = 3m + 3 - 2m.

⇔ -4 = m

Vậy m = -4.

b, Tọa độ giao điểm của (d) với trục hoành là I(-1;0)

0 = (m+1)(-1) - 2m.

⇔ 0 = -m - 1 - 2m ⇔ 3m = -1 ⇔ m = -1/3

Vậy m= -1/3

c, (d) song song với (d’): y=-2x+2

⇔ m + 1 = -2 và -2m ≠ 2

⇔ m = -3 và m ≠ -1

⇔ m = -3

Vậy m = -3

d, Đường thẳng (d) vuông góc với đường thẳng: y=-3x-1

⇔ (m+1)(-3) = -1 ⇔ m + 1 = 1/3 ⇔ m = -2/3

Vậy m = -2/3

e, Đường thẳng (d) có hệ số góc là 3 ⇔ m + 1 = 3 ⇔ m = 2

f, Đường thẳng (d) có tung độ gốc là √2, tức là (d) đi qua điểm B(0, √2)

⇔ -2m = √2

⇔ m = -√2/2

g, Góc tạo bởi đường thẳng (d) và trục Ox là góc tù:

⇔ m + 1 < 0 ⇔ m < -1

Vậy m < -1.

Bài 2: Với những giá trị nào của m thì đồ thị các hàm số y = 2x+(m+3) và y = 3x+(5-m) cắt nhau tại một điểm trên trục tung ?

Giả sử đồ thị hai hàm số đã cho cắt nhau tại điểm A(0; a) nằm trên trục tung.

* Điểm A thuộc đồ thị hàm số y = 2x + (m + 3) nên:

a = 2.0 + (m + 3) hay a = m + 3 (1)

* Điểm A thuộc đồ thị hàm số y = 3x + (5 - m ) nên

a = 3.0 + (5 - m) hay a = 5 - m (2)

* Từ (1) và (2) suy ra: m + 3 = 5 – m

⇔ 2m = 2 ⇔ m = 1

------------------------------

Trên đây Toploigiai đã cùng các bạn tìm hiểu về đường thẳng song song, cắt nhau và trùng nhau qua câu hỏi 2 đường thẳng trùng nhau khi nào và một số kiến thức mở rộng. Chúc các bạn học tốt.