Đường cao trong tam giác vuông có tính chất gì?

Đường cao trong tam giác là một đường thẳng có tính chất quan trọng và liên quan rất nhiều đến các bài toán hình học phẳng. Vậy Đường cao trong tam giác vuông có tính chất gì? Cùng tham khảo bài viết dưới đây để có câu trả lời và biết công thức tính đường cao trong tam giác đơn giản nhất nhé.

1. Định nghĩa đường cao trong tam giác

Đường cao trong tam giác là đoạn vuông góc kẻ từ một đỉnh đến cạnh đối diện. Cạnh đối diện này được gọi là đáy ứng với đường cao. Độ dài của đường cao là khoảng cách giữa đỉnh và đáy.

2. Tính chất đường cao trong tam giác

Đường cao trong tam giác có tính chất gì?

- Ba đường cao trong tam giác đồng quy với nhau tại 1 điểm, điểm đó gọi là trực tâm của tam giác.

Ví dụ: △ABC trên có 3 đường cao AK, CQ, BN và chúng đồng quy tại O, O là trực tâm △ABC.

Chú ý: Không chỉ ở tam giác thường mà ở dạng tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều cũng có đường cao và tính chất của đường cao vẫn giữ nguyên.

Đường cao trong tam giác vuông có tính chất gì?

Đối với tam giác vuông đường cao của tam giác có tính chất là:

Trong một tam giác vuông, đường cao của tam giác là hai cạnh bên góc vuông của tam giác đó và một đường cao hạ từ đỉnh góc vuông, và 3 đường cao đồng quy tại chính đỉnh góc vuông đó.

Ví dụ: △ABC vuông tại B có 3 đường cao là  AB, BC, BM chúng đồng quy tại B.

Đường cao trong tam giác cân, tam giác đều gì?

Đường cao trong tam giác cân hạ từ đỉnh cân xuống cạnh đáy vừa là đường trung tuyến, đường trung trực, đường phân giác.

Đường cao trong tam giác đều hạ 3 đỉnh đều là đường trung tuyến, đường trung trực, đường phân giác.

>>> Xem thêm: Tính chất đường cao trong tam giác vuông

3. Công thức tính đường cao trong tam giác

a) Công thức tính đường cao trong tam giác

Có nhiều công thức tính đường cao trong tam giác. Cách tính đơn giản nhất được nhiều người biết đến là công thức Heron

Ta có

+ a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác

+ h(a) là độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A xuống cạnh BC

+ p là nửa chua vi tam giác với p = (a+b+c) / 2

Từ đó có công thức tính đường cao trong tam giác là

[h(a)]² = p(4/a²)(p-a)(p-b)(b-c)

Ví dụ: Tính chiều dài đường cao trong tam giác có độ dài 3 cạnh lần lượt là 2,3,4 (cm)

Ta có nửa chu vi của tam giác p = (a+b+c) /2 = 4.5

Áp dụng công thức trên ta có :

Độ dài đường cao trong tam giác [h(a)]² = 8.4375 => h(a) = 2.9 (cm)

b) Công thức tính đường cao trong tam giác cân

Ta có a là độ dài 2 cạnh bằng nhau của tam giác cân, b là độ dài cạnh còn lại, h là độ dài đường cao trong tam giác cân.

Áp dụng định lý Pitago ta có a² = (b/2)² + h²

Từ đó ta có công thức tính đường cao trong tam giác cân là

h² = a² – (b/2)² => h = √[a² – (b/2)²]

Ví dụ : Tính chiều dài đường cao trong tam giác cân có độ dài 2 cạnh bằng nhau là 2cm và độ dài cạnh còn lại là 3

Áp dụng công thức trên ta có :

Độ dài đường cao trong tam giác cân h = √[ a² – (b/2)²] = căn(2² – 1.5²) = 1.32 (cm)

c) Công thức tính đường cao trong tam giác vuông

Giả sử có tam giác vuông ABC vuông tại A như hình vẽ trên:

Công thức tính cạnh và đường cao trong tam giác vuông:

1. a² = b²+c²

2. b² =a.b′ và c²=a.c′

3. ah = bc

4. h² =b′.c'

5. 

Trong đó:

• a, b, c lần lượt là các cạnh của tam giác vuông như hình trên;
• b’ là đường chiếu của cạnh b trên cạnh huyền;
• c’ là đường chiếu của cạnh c trên cạnh huyền;
• h là chiều cao của tam giác vuông được kẻ từ đỉnh góc vuông A xuống cạnh huyền BC.

>>> Xem thêm: Công thức tính đường cao trong tam giác

4. Bài tập vận dụng bổ sung kiến thức về đường cao trong tam giác

Bài 1: Cho Δ ABC cân tại A có BC = 30( cm ), đường cao AH = 20 ( cm ). Tính đường cao ứng với cạnh bên của tam giác cân đó.

Giải: Xét Δ ABC cân tại A có BC = 30( cm )

⇒ BH = CH = 15( cm ).

Áp dụng đinh lý Py – ta – go ta có:

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Tính BC, AC, AH biết AB = 15cm, HC = 16cm.

Giải:

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC có:

Xét tam giác vuông ABC có: AH.BC = AB.AC (hệ thức lượng)

Vậy BC=25(cm); AC=20(cm); AH=12(cm)

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB=24cm, AC=32cm. Đường trung trực của BC cắt AC, BC theo thứ tự D và E. Tính DE.

Giải:

Xét tam giác vuông ABC, ta có:

BC² = AB²+ AC² ( theo định lý py-ta-go)

BC² = 24²+ 32²

BC² = 1600

BC = 40(cm)

EC = BC : 2 = 40 : 2 = 20(cm)

Xét tam giác vuông ACB và tam giác vuông ECD có:

Có ∠A = ∠E = 90^o

∠C chung

=> Tam giác ACB ∾ tam giác ECD (g.g)

=> AC/EC = AB/ED

=> ED = AB.EC/AC = 15cm

Vậy ED = 15cm

---------------------------

Như vây, những thông tin trên đã giải đáp thắc mắc Đường cao trong tam giác vuông có tính chất gì cũng như cung cấp thêm kiến thức về đường cao trong tam giác. Hy vọng những thông tin trên sẽ giúp ích cho các bạn.