Công thức tính diện tích hình vành khăn chuẩn đơn giản nhất

Trong toán học, hình vành khăn (tiếng Anh gọi là annulus, có nghĩa là “chiếc nhẫn nhỏ”, số nhiều là anuli/annuli) là phần mặt phẳng nằm giữa hai đường tròn đồng tâm (độ dài đường kính hai hình tròn không trùng nhau). Những hình vành khăn mở tương đương tô pô với cả hình trụ mở S1 × (0,1) và mặt phẳng thủng (punctured plane). Công thức diện tích của hình vành khăn được chuẩn đơn giản nhất tính bằng hiệu của diện tích hình tròn lớn bán kính R với diện tích hình tròn nhỏ bán kính r: Svk=π.(R2−r2). Mời bạn cùng Top lời giải theo dõi nội dung bài viết dưới đây.

1. Công thức tính chu vi hình vành khăn

Chu vi hình vành khăn được tính bằng hiệu của chu vi hình tròn lớn bán kính R với chu vi hình tròn nhỏ bán kính r:

Pvk=P(O,R)−P(O,r)

mà P(O,R)=2.R.π, P(O,r)=2.r.π

nên Pvk=2.π.(R−r)

Trong đó:

Pvk: Chu vi hình vành khăn.

P(O,R): Chu vi hình hình tròn lớn.

P(O,r): Chu vi hình hình tròn nhỏ.‍

R: Độ dài bán kính hình tròn lớn.‍

r: Độ dài bán kính hình tròn nhỏ.‍

π: là ký hiệu số pi, π = 3,14.

2. Công thức tính diện tích hình vành khăn

Hình vành khăn là phần hình tròn giữa hai đường tròn đồng tâm

Theo nguyên lý gọi A là diện tích của A. Thì ta có những công thức sau:

Diện tích hình vành khăn là hiệu của diện tích hình tròn lớn bán kính R với diện tích hình tròn nhỏ bán kính r:

Svk=S(O,R)−S(O,r)

mà S(O,R)=R2.π, S(O,R)=r2.π

nên Svk=π.(R2−r2)

Trong đó:

– Svk: Diện tích hình vành khăn.

– S(O,R): Diện tích hình hình tròn lớn.

– S(O,r): Diện tích hình hình tròn nhỏ.

– R: Độ dài bán kính hình tròn lớn.

– r: Độ dài bán kính hình tròn nhỏ.

– π: là ký hiệu số pi, π = 3,14.

Diện tích hình vành khăn được xác định dựa vào độ dài của đoạn thẳng dài nhất trong hình, tức dây cung tiếp tuyến với đường tròn phía trong, có độ dài 2d như hình minh họa. Có thể thể hiện phân tích này bằng định lý Pythagoras vì đoạn thẳng này tiếp tuyến với đường tròn nhỏ và vuông góc với bán kính r tại tiếp điểm, do đó d và r là các cạnh góc vuông của một tam giác vuông với cạnh huyền R và diện tích hình vành khăn được tính theo công thức:

Cũng có thể áp dụng vi tích phân để tính diện tích bằng cách chia nhỏ hình vành khăn thành một số lượng hình vành khăn vô hạn với chiều rộng dρ nhỏ đến vô cùng và diện tích 2πρ dρ, sau đó giải tích phân ρ = r đến ρ = R:

Diện tích hình quạt vành khăn với góc θ, θ đo bằng radian, được tính theo công thức:

3. Cấu trúc phức của hình vành khăn

Trong giải tích phức, hình vành khăn ann(a; r, R) trong mặt phẳng phức là một tập mở được định nghĩa là:

Nếu r bằng , tập này được xem là đĩa thủng (punctured disk) có bán kính R, tâm a.

Là tập hợp con của mặt phẳng phức, hình vành khăn có thể được coi là một mặt Riemann. Cấu trúc phức của hình vành khăn chỉ phụ thuộc vào tỷ lệ r/R. Mỗi hình vành khăn ann(a; r, R) có thể được ánh xạ chỉnh hình tới một hình vành khăn chuẩn tương ứng, dựa trên tâm cũ và với bán kính ngoài 1.

Bán kính trong lúc này là r/R < 1

Định lý ba vòng tròn Hadamard là một phát biểu về giá trị tối đa mà hàm chỉnh hình có thể nhận được trong một hình vành khăn.

4. Bài tập tính diện tích hình vành khăn

Câu 1: Hình vành khăn là phần hình tròn nằm giữa hai đường tròn đồng tâm (h.65).

a) Tính diện tích S của hình vành khăn theo R₁ và R₂ (giả sử R₁>R₂).

b) Tính diện tích hình vành khăn khi R₁=10,5cm, R₂=7,8cm.

Lời giải:

a) Diện tích hình tròn (O;R₁) là S1=πR₁².

Diện tích hình tròn (O;R₂) là S2=πR₂².

Diện tích hình vành khăn là:

       S=S₁–S₂ = πR₁²-πR₂²= π(R12−R22)

b) Thay số: S = 3,14.(10,52 –7,82) = 155,1 (cm²)

Câu 2: Tính diện tích phần tô màu xám trong hình vẽ bên dưới đây. Biết, đường tròn lớn bao quanh bên ngoài có bán kính r₂ = 15 cm và đường tròn nhỏ bên trong có bán kính r₁ = 10 cm.

Lời giải:

Nhận xét: Từ hình vẽ ta thấy, diện tích phần tô màu xám trong hình bằng hiệu của S hình tròn lớn bán kính r₂ và DT(diện tích) hình tròn nhỏ bán kính r₁.

– S hình tròn nhỏ :

S1 = πr1² = 3,14. 10² = 314 cm²

– DT hình tròn lớn :

S₂ = πr₂² = 3,14. 15² = 706,5 cm²

– Diện tích hình màu xám trong hình :

S = S₂ – S₁ = 706,5 – 314 = 392,5 cm²

Như vậy, qua bài viết Top lời giải đã giải đáp câu hỏi Công thức tính diện tích hình vành khăn chuẩn đơn giản nhất? Và cung cấp kiến thức về hình vành khăn. Hy vọng những thông tin trên sẽ giúp ích trong học tập, chúc bạn học tốt.