Xét tính đơn điệu của hàm số Lý thuyết - Bài tập

Xét tính đơn điệu của hàm số là một trong những kiến thức thi tốt nghiệp THPT.  Dưới đây Toploigiai sẽ tổng hợp xét tính đơn điệu của hàm số Lý thuyết-Bài tập và các dạng bài cơ bản, thường gặp nhất của phần tính đơn điệu của hàm số trong kỳ thi ĐH - THPT QG môn Toán để các em đạt được điểm số cao nhất. Cùng theo dõi trong nội dung dưới đây nhé!

1. Lý thuyết xét tính đơn điệu của hàm số

Cho hàm số y = f(x) xác định trên K, với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn.

Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu ∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2).

Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu ∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2).

Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

- Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f'(x) ≥ 0,∀x ∈ K và f'(x) = 0 xảy ra tại một số điểm hữu hạn.

- Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f'(x) ≤ 0,∀x ∈ K và f'(x) = 0 xảy ra tại một số điểm hữu hạn.

Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

- Nếu f'(x) > 0,∀x ∈ K thì hàm số đồng biến trên khoảng K.

- Nếu f'(x) < 0,∀x ∈ K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K.

- Nếu f'(x) = 0,∀x ∈ K thì hàm số không đổi trên khoảng K.

>>> Tham khảo: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

2. Phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số

Để xét tính đơn điệu của hàm số y=f(x), ta thực hiện theo các bước sau đây:

+ Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số y=f(x).

+ Bước 2. Tính đạo hàm f′(x) và tìm các điểm x0 sao cho f′(x0)=0 hoặc f′(x0) không xác định.

+ Bước 3. Lập bảng xét dấu f′(x), nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

Ví dụ: Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến (hoặc xét chiều biến thiên) của hàm số:

a. y=–1/4x⁴–3/2x²+1.

b. y=–1/4x⁴+x³–4x+1.

a. TXĐ: D=R.

Ta có: y′=–x³–3x=–x(x²+3) ⇒y′=0⇔x=0.

Bảng xét dấu:

Vậy hàm số y đồng biến trên khoảng (–∞;0), nghịch biến trên (0;+∞).

b. TXĐ: D=R.

Ta có: y′=–x³+3x²–4 ⇒y′=0⇔x=–1,x=2.

Giới hạn:

 

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số y đồng biến trên khoảng (–∞;–1), nghịch biến trên khoảng (–1;+∞).

>>> Tham khảo: Định nghĩa giới hạn vô cực của hàm số và bài tập

3. Các dạng bài toán xét tính đơn điệu của hàm số

Dạng 1. Xét sự biến thiên của hàm số không chứa tham số

Phương pháp giải: Để xét tính đơn điệu của hàm số y =f(x) ta làm như sau:

- Tìm tập xác định

- Tính y', giải phương trình y'=0

- Lập bảng biến thiên và kết luận

Dạng 2: Xét sự biến thiên của hàm số chứa tham số

Ví dụ: Cho hàm số y = −x3+3x2+3mx−1 (1) với m là tham số thực. Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (0;+∞)

4. Bài tập xét tính đơn điệu của hàm số

Bài 1: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y = y= -x³ + 6x² - 9x + 4

Đáp án

Hàm số đã cho xác định trên D=R.

Tính y' = -3x² + 12x - 9. Cho y' = 0 ⇔ -3x² + 12x - 9 = 0 ⇔ 

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên,hàm số đồng biến trên (1;3).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; 1) và (3; +∞)

Bài 2: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y = (3 - 2x)/(x + 7)

Đáp án

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên: D = R\{-7}.

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đã cho luôn nghịch biến trên: (-∞; -7)và(-7; +∞).

Bài 3: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y = x⁴ + 4x + 6

Đáp án

Tập xác định: D = R.

Tính: y' = 4x³ + 4. Cho y' = 0 ⇔ 4x³ + 4 = 0 ⇔ x = -1.

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đồng biến trên khoảng (-1; +∞).

Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; -1)

Bài 4: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau  

Đáp án

Hàm số đã cho xác định khi: x² - x + 3 > 0 đúng ∀x ∈ R.

Hàm số đã cho xác định trên D = R

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đã cho đồng biến trên(-∞; 8/5).

Hàm số nghịch biến trên khoảng (8/5; +∞)

Bài 5: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau 

Đáp án

Hàm số đã cho xác định trên: D = R\{-2}.

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số nghịch biến trên: (-∞; -5) và (1; +∞)

Hàm số đồng biến trên các khoảng (-5; -2) và (-2; 1)

Bài 6: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau 

Đáp án

Hàm số đã cho xác định trên D = R.

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đã cho đồng biến trên (-∞; 1/6) và (1/6; +∞)

Hàm số nghịch biến trên khoảng (1/6; 1/2)

Bài 7: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y = |x² - 2x - 3|

Đáp án

Ta có: y = |x2 - 2x - 3| = 

TXĐ: D = R.

Tìm y' = 

Hàm số không có đạo hàm tại x= -1 và x = 3.

Ta lại có: Trên khoảng (-1; 3): y' = 0 ⇔ x = 1.

Trên khoảng (-∞; -1): y' < 0. Trên khoảng (3; +∞): .y' > 0

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đồng biến trong các khoảng (-1; 1) và (3; +∞).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; -1) và (1; 3)

Bài 8: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y = 2sinx + cos2x,x ∈ [0; π]

Đáp án

Hàm số đã cho xác định trên đoạn [0; π].

Ta có: y' = 2cosx - 2sin2x = 2cosx - 4cosx.sinx = 2cosx(1 - 2sinx),x ∈ [0; π].

Trên đoạn[0; π]: y' = 0 ⇔ 

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đồng biến trên các khoảng (0; π/6) và (π/2; 5π/6)

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (π/6; π/2); (5π/6; π)

----------------------------------

Trên đây Toploigiai đã tổng hợp xét tính đơn điệu của hàm số Lý thuyết-Bài tập. Hy vọng những thông tin trên sẽ giúp ích cho bạn giải các bài tập liên quan đến xét tính đơn điệu của hàm số. Chúc bạn học tốt!