Cách tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng

Với Cách tìm tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng cực hay, có đáp án đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập vận dụng có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập  tìm toạ độ giao điểm của hai đường thẳng, đường thẳng và mặt phẳng, hai đồ thị, parabol và đường thẳng từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

1. Cách tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng 

- Cho hai đường thẳng d: y = ax + b và d’: y = a’x + b’ với a ≠0  và a’ ≠0 .

+ Hai đường thẳng này có duy nhất một điểm chung khi chúng cắt nhau.

+ Hai đường thẳng không có điểm chung khi chúng song song.

+ Hai đường thẳng có vô số điểm chung khi chúng trùng nhau.

- Muốn tìm tọa độ giao điểm hai đường thẳng ta làm như sau (d và d’ cắt nhau)

+ Bước 1: Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và d’.

ax + b = a’x + b’ (1)

- Chú ý:

+ Phương trình (1) vô nghiệm thì d // d’.

+ Phương trình (1) luôn đúng với mọi giá trị x thì d và d’ trùng nhau.

+ Với a ≠ a’, phương trình (1) có nghiệm duy nhất.

Ta chuyển qua bước 2

+ Bước 2: Thay x vừa tìm được vào d hoặc d’ để tính y

Ví dụ thay x vào d 

+ Bước 3: Kết luận tọa độ giao điểm.

Ví dụ: Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng: (d₁) : y = -2x + 4 và (d₂) : y = -5x + 5

Tọa độ giao điểm của (d₁) với (d₂) là 

-2x + 4 = -5x + 5 

<=> -2x + 5x = 5-4 

<=> 3x = 1

 <=> x = ⅓

Thay x = 1 vào (dl) ta được 

y = -2 * (⅓) + 4 

= -⅔ + 4 

= 10/3 

Vậy tọa độ giao điểm của (d₁) và (d₂) là (⅓;10/3)

2. Cách tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng trong hệ trục Oxyz. 

Cho đường thẳng d có phương trình 

 và mặt phẳng (P): Ax + By +Cz + D = 0

Gọi I là giao điểm của d và (P): I = d ∩ (P)

Phương pháp tìm giao điểm

- Điểm I thuộc đường thẳng d.

- Tọa độ của I thỏa mãn phương trình đường thẳng d: 

 I ∈ (P) -> Ax₁ + By₁ + Cz₁ + D = 0

A(x_o + at) + B(y_o + bt) + C(z_o + ct) + D =0. Giải phương trình tìm t và thay vào I.

Ví dụ: Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng 

và mặt phẳng (Oyz).           

Lời giải:

Tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (Oyz) là nghiệm của hệ:

 Vậy, đường thẳng d cắt mặt phẳng (Oyz) tại điểm ( 0; 5; 2).

>>> Xem thêm: Cách tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

3. Cách tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị 

Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) có đồ thị lần lượt là (C₁) và (C₂) Nếu M(x; y) là giao điểm của (C₁) và (C₂) thì tọa độ của điểm M là nghiệm của hệ phương trình

Phương trình (") gọi là phương trình hoành độ giao điểm của (C₁) và (C₂)

Như vậy để tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y= f(r) và y = g(r) ta làm như sau:

1. Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C₁) và (C₂) (chính là phương trình ("))

2. Tìm nghiệm của phương trình ("). Bằng cách biến đổi phương trình (") về dạng đơn giản như: phương trình tích, phương trình bậc 2, bậc 3 hay trung phương

3. Kết luận số giao điểm của hai đồ thị (C₁) và (C₂)

Ví dụ: Đồ  thị của hàm số y=x³+2x²−x+1và đồ thị hàm số y=x²−x+3 có tất cả bao nhiêu điểm chung?

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hai hàm số là x³+2x²−x+ 1= x²−x+3 ⇔ x³+x²−2=0

⇔(x−1)(x²+2x+2)=0⇔x−1=0⇔x=1. Suy ra hai đồ thị có một điểm chung.

4. Cách tìm tọa độ giao điểm của parabol và đường thẳng.

- Bước 1: Viết phương trình hoành độ giao điểm của parabol và đường thẳng.

- Bước 2: Giải phương trình bậc hai, tìm hoành độ giao điểm.

- Bước 3: Tìm tung độ giao điểm (nếu có).

- Bước 4: Kết luận.

Ví dụ: Tìm tọa độ giao điểm của parabol y = x² và đường thẳng y = 2x - (m² + 1) (m là tham số, m ≠ 0) 

Phương trình hoành độ giao điểm của parabol (P): y = x²  và đường thẳng (d): y=2x–(m2 +1) là: 

x² = 2x- (m² +1) x²-2x + m² + 1 = 0 (*) 

Ta có: 

A = b- ac - (- 1) 2-1. (m² + 1) = -m² < 0 với mọi m = 0, do đó phương trình (*) vô nghiệm. Vậy parabol (P): y = x²  và đường thẳng (d): y = 2x–(m +1) không có điểm chung

5. Bài tập vận dụng bổ sung kiến thức về tìm tọa độ giao điểm

Bài 1: Tìm tọa độ giao điểm của các đường thẳng sau:

a) d: y = 3x – 2 và d’: y = 2x + 1;

b) d: y = 4x – 3 và d’: y = 2x + 1.

Lời giải:

a) Phương trình hoành độ giao điểm của d và d’ là:

3x – 2 = 2x + 1

⇔3x−2x=1+2

⇔x=3

Thay x = 3 và d ta được:

y=3.3−2=9−2=7

Vậy tọa độ giao điểm của d và d’ là A(3; 7).

b) Phương trình hoành độ giao điểm của d và d’ là:

4x – 3 = 2x + 1

⇔4x−2x=3+1

⇔2x=4

⇔x=2

Thay x vào d ta được: y=4.2−3= 5

Vậy tọa độ giao điểm của d và d’ là B(2; 5).

Bài 2: Tìm tham số m để:

a) d: y = 2mx + 5 và d’: y = 4x + m cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng 1.

b) d: y = (3m – 2)x – 4 cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3.

Lời giải:

a) Phương trình hoành độ giao điểm của d và d’ là:

2mx + 5 = 4x + m.

Vì hai đường thẳng d và d’ cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng 1 nên thay x = 1 vào phương trình hoành độ giao điểm ta có:

2m.1 + 5 = 4.1 + m

⇔2m+5=4+m

⇔2m−m=4−5

⇔m=−1

Vậy m = -1 thì d và d’ cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng 1.

b) Vì d cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3 nên giao điểm của d với trục hoành là A(3; 0). Thay tọa độ điểm A vào d ta được:

0 = (3m – 2).3 – 4

⇔0=9m−6−4

⇔9m=10

⇔m=10/9

Vậy m=10/9 thì d cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3.

Bài 3: Tìm giao điểm của đồ thị hàm số (C): y = x³ - 3x² + 2x + 1 và đường thẳng y = 1

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm 

Với x = 0 ⇒ y = 1

Với x = 1 ⇒ y = 1

Với x = 2 ⇒ y = 1

Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là (0; 1); (1; 1) và (2; 1)

Bài 4: Cho hàm số f(x) = x³ + 4x - 2; g(x) = 3x² + 4x - 4 Tìm số giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho là

 x³ +4x-2=3x² +4x-4 

⇔ x³ – 3x² + 2 = 0. 

⇔ (x - 1)(x² - 2x - 2) = 0

Do đó hai đồ thị hàm số đã cho cắt nhau tại 3 điểm phân biệt

Bài 5: Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm số nghiệm của phương trình: 3f(x)–2=0.

Ta có 3f(x)–2 = 0 ⇔ f(x)= ⅔

Từ đồ thị hàm số đã cho, vẽ đường thẳng y= ⅔.

Khi đó số giao điểm của đường thẳng y= ⅔ với đồ thị hàm số y=f(x) chính là số nghiệm phân biệt của phương trình 3f(x)–2=0. Quan sát hình vẽ, ta thấy phương trình 3f(x)–2 = 0 có ba nghiệm phân biệt.

--------------------

Trên đây là tổng hợp kiến thức của Toploigiai về Cách tìm tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng. Qua bài viết này, mong rằng các bạn sẽ bổ sung thêm cho mình thật nhiều kiến thức và học tập thật tốt nhé! Cảm ơn các bạn đã theo dõi và đọc bài viết!