Tìm khoảng đồng biến nghịch biến của hàm hợp

Trong toán học, hàm hợp là một phép toán nhận hai hàm số f và g và cho ra một hàm số h sao cho h(x) = g(f(x)). Dạng toán tìm khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm hợp là phần kiến thức quan trọng nằm trong chương trình Toán 12. Vậy nên Toploigiai đã mang tới cho các bạn bài tìm hiểu Tìm khoảng đồng biến nghịch biến của hàm hợp để giúp các bạn củng cố lại kiến thức. Mời các bạn cùng tham khảo.

1. Hàm hợp là gì?

Hàm hợp là một phép toán nhân hai hàm số f và g và cho ra một hàm số h sao cho h(x) = g(f(x)). Trong dạng toán này, hàm số f : X → Y và g : Y → Z được hợp lại để tạo thành một hàm mới biến x thuộc X thành g(f(x)) thuộc Z.

Hàm hợp thành này thường được ký hiệu là g∘f: X → Z, định nghĩa bởi (g∘f )(x) = g(f(x)) với mọi x thuộc X.[note 1] Ký hiệu g∘f đọc là "g tròn f ", "g hợp f", "g của f", hoặc "g trên f ".

Hợp của hàm là một trường hợp của hợp của quan hệ, nên tất cả tính chất của cái sau cũng đúng với hợp của các hàm.[1] Hợp của hàm còn có thêm một số tính chất khác.

>>> Tham khảo: Hàm số y = sinx đồng biến trên mỗi khoảng nào?

2. Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm hợp

Dạng 1: Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số hợp cho trực tiếp

Phương pháp giải:

Công thức đạo hàm của hàm hợp [f(u)]′=f′(u).u′.

Lập bảng xét dấu y′ của hàm số đã cho và kết luận.

Dạng 2: Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số hợp cho qua bảng biến thiên hoặc đồ thị.

Giả sử giả thiết bài toán cho đồ thị hàm f'(x) với mọi R như hình vẽ dưới đây.

+ Đối với bài toán tìm khoảng đồng biến nghịch biến của hàm số y = f(x) ta dựa đồ thị f'(x) như hình vẽ để tìm khoảng đồng biến nghịch biến.

+ Đối với bài toán tìm khoảng đồng biến nghịch biến của hàm hợp y = f(u) ta làm như sau:

Ta thấy f'(x) đổi dấu qua các điểm x = b, x = c, x = d và f'(x) bằng không nhưng không đổi dấu tại các điểm x = a, x = e nên ta có thể thiết lập biểu thức đạo hàm:

f’(x) = k(x-a)² (x-b)(x-c)(x-d)(x-e)²

 

>>> Tham khảo: Hàm số nào sau đây đồng biến trên R?

3. Bài tập tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm hợp

Bài 1: Cho hàm số y = f(x) xác định trên R\{-1}, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình sau. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞;-1).

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞;+∞).

C. Hàm số đồng biến trên khoảng (-1;+∞).

D. Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;1).

Trả lời: Chọn A

Bài 2: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (-∞;0).

B. (-1;1).

C. (-1;0).

D. (1;+∞).

Trả lời: Chọn C

Bài 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như sau

Trong các mệnh đề sau, có bao nhiêu mệnh đề sai?

i) Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (-∞;-5) và (-3;-2).

ii) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-∞;5).

iii) Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (-2;+∞).

iv) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-∞;-2).

A. 1   

B. 2   

C. 3   

D. 4

Trả lời: Chọn A

Bài 4: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (2;+∞).

B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (3;+∞).

C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-∞;1).

D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0;3).

Trả lời: Chọn D

Bài 5: Cho hàm số f(x) xác định trên R và có đồ thị hàm số y = f'(x) là đường cong trong hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (1;2).

B. Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (0;2).

C. Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (-2;1).

D. Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (-1;1).

Trả lời: 

Chọn B

Dựa vào đồ thị hàm số y = f'(x) ta có:

f'(x) > 0 ⇔ x ∈ (-2;0)∪(2;+∞)và f'(x) < 0 ⇔ x ∈ (-∞;-2)∪(0;2).

Khi đó, hàm số y = f(x) đồng biến trên các khoảng (-2;0), (2;+∞)

Hàm số y = f(x) nghịch biến trên các khoảng (-∞;-2),(0;2)

Bài 6: Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) xác định, liên tục trên R và f'(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số f(x) đồng biến trên (-∞;1).

B. Hàm số f(x) đồng biến trên (-∞;1) và (1;+∞).

C. Hàm số f(x) đồng biến trên (1;+∞).

D. Hàm số f(x) đồng biến trên R

Lời giải:

Chọn C

Dựa vào đồ thị hàm số f'(x), ta thấy f'(x) > 0, ∀ x ∈ (1;+∞) suy ra hàm số f(x) đồng biến trên (1;+∞).

Bài 7: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau:

a)  y=x³−3x²+2

b) y=x⁴−2x²

Lời giải

a) TXĐ: D=R

Ta có:

y′=3x²−6x⇔{x=0; x=2

Bảng biến thiên (xét dấu):

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞;0) và (2;+∞); nghịch biến trên khoảng (0; 2).

b) TXĐ: D=RD=ℝ

Ta có:

y′=4x³−4x⇔{x=0; x=±1

Bảng biến thiên (xét dấu):

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (−1;0) và (1;+∞), nghịch biến trên khoảng (−∞;−1) và (0; 1).

----------------------------

Trên đây Toploigiai đã mang tới cho các bạn bài tìm hiểu Tìm khoảng đồng biến nghịch biến của hàm hợp. Hi vọng những kiến thức chúng tôi cung cấp sẽ giúp các bạn học tập tốt hơn. Mời các bạn đến với câu hỏi tiếp theo