Tìm điều kiện để tam thức bậc hai luôn dương, luôn âm

Đa thức là một chủ đề khó và có tính phân loại học sinh cao trong mỗi kì thi. Từ định lí về dấu tam thức bậc hai chúng ta có thể giải được các phương trình, bất phương trình tích, phương trình chứa căn, giải bất phương trình chứa căn. Đồng thời, từ đó có thể suy ra cách giải bài toán tìm điều kiện của tham số để tam thức bậc 2 (bất phương trình bậc hai) luôn dương, luôn âm với mọi x thuộc ℝ, tìm điều kiện để bất phương trình nghiệm đúng với mọi số thực x, tìm điều kiện để bất phương trình vô nghiệm… Cùng Toploigiai tìm hiểu ngay trong bài Tìm điều kiện để tam thức bậc hai luôn dương, luôn âm dưới đây nhé!

1. Khái niệm tam thức bậc 2

Tam thức bậc hai (đối với xx) là biểu thức dạng ax²+bx+c. Trong đó a,b,c là những số cho trước với a≠0.

Nghiệm của phương trình ax²+bx+c=0 được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai  f(x)=ax²+bx+c; Δ=b²−4ac và Δ′=b′²−ac theo thứ tự được gọi là biệt thức và biệt thức thu gọn của tam thức bậc hai f(x)=ax²+bx+c.

>>> Tham khảo: Cách rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

2. Dấu của tam thức bậc 2

Định lý: Cho f(x) = ax²+ bx + c,Δ = b² - 4ac.

- NếuΔ<0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a với mọi x.

- NếuΔ=0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a trừ khi x = -b/2a.

-NếuΔ>0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a khi x <x1 hoặc x > x2 ; trái dấu với hệ số a khi x1 < x < x2 trong đó x1,x2 (với x1<x2) là hai nghiệm của f(x).

Cách xét dấu của tam thức bậc 2

- Tìm nghiệm của tam thức

- Lập bảng xét dấu dựa vào dấu của hệ số a

- Dựa vào bảng xét dấu và kết luận

3. Tìm điều kiện để tam thức bậc hai luôn dương, luôn âm

Bài toán 1. Cho tam thức bậc hai f(x)=ax²+bx+c, tìm điều kiện của tham số m để f(x)>0 với mọi x thuộc ℝ.

Để giải quyết bài toán trên, chúng ta cần xét hai trường hợp:

Khi a=0, ta kiểm tra xem lúc đó f(x) như thế nào, có thỏa mãn yêu cầu bài toán hay không.

Khi a≠0, thì f(x) là một tam thức bậc hai, nên f(x)>0 với mọi x∈ℝ khi và chỉ khi

{a>0Δ<0

Tương tự, chúng ta có các bài toán sau:

Bài toán 2. Cho f(x)=ax²+bx+c, tìm điều kiện của tham số m để f(x)<0 với mọi x thuộc ℝ.

Cần xét hai trường hợp:

Kiểm tra khi a=0.

Khi a≠0, thì f(x)>0 với mọi x∈ℝ tương đương với

{a<0Δ<0}

Bài toán 3. Cho f(x)=ax²+bx+c, tìm điều kiện của tham số m để f(x)≥0 với mọi x thuộc ℝ.

Xét hai trường hợp:

Khi a=0, ta kiểm tra xem lúc đó f(x) như thế nào, có thỏa mãn yêu cầu bài toán hay không.

Khi a≠0, thì f(x)>0 với mọi x∈ℝ tương đương với

{a>0Δ≤0}

Bài toán 4. Cho hàm số f(x)=ax²+bx+c, tìm điều kiện của tham số m để f(x)≤0 với mọi x thuộc ℝ.

Để giải quyết bài toán trên, chúng ta cần xét hai trường hợp:

Khi a=0, ta kiểm tra xem lúc đó f(x) như thế nào, có thỏa mãn yêu cầu bài toán hay không.

Khi a≠0, thì f(x)>0 với mọi x∈ℝ tương đương với

{a<0Δ≤0}

>>> Tham khảo: Tại sao số âm không có căn bậc hai?

4. Ví dụ

Bài tập 1: Tìm m để biểu thức sau luôn dương với mọi x

f(x) = (m−1)x² + (2m+1)x + m+1.

Hướng dẫn giải:

Chúng ta xét trường hợp:

m− 1 = 0⇔ m = 1.

→ Lúc này bất phương trình f(x) > 0 tương đương với 3x + 2 > 0 và x > −2/3. Rõ ràng tập nghiệm này không đáp ứng được mong muốn của đề bài (đề bài yêu cầu là f(x) > 0 với mọi x thuộc R), do đó m = 1 không thỏa mãn yêu cầu.

Bài 2: Lập bảng xét dấu của biểu thức

a) f(x) = (3x² - 10x + 3)(4x - 5)

b) f(x) = (3x² - 4x)(2x² - x - 1)

c) f(x) = (4x² – 1)(–8x² + x – 3)(2x + 9)

d) f(x) = <(3x² - x)(3 - x2)>/<4x² + x - 3>

Hướng dẫn giải:

a) f(x) = (3x² - 10x + 3)(4x - 5)

- Tam thức 3x² – 10x + 3 có hai nghiệm x = 1/3 và x = 3, hệ số a = 3 > 0 nên mang dấu + nếu x 3 và mang dấu – nếu 1/3 0 khi x ∈ (1/3; 5/4) ∪ x ∈ (3; +∞)

f(x) = 0 khi x ∈ S = {1/3; 5/4; 3}

f(x) 2 - 4x)(2x² - x - 1)

- Tam thức 3x² – 4x có hai nghiệm x = 0 và x = 4/3, hệ số a = 3 > 0.

⇒ 3x² – 4x mang dấu + khi x 4/3 và mang dấu – khi 0 2 – x – 1 có hai nghiệm x = –1/2 và x = 1, hệ số a = 2 > 0

⇒ 2x² – x – 1 mang dấu + khi x 1 và mang dấu – khi –1/2 0 ⇔ x ∈ (–∞; –1/2) ∪ (0; 1) ∪ (4/3; +∞)

f(x) = 0 ⇔ x ∈ S = {–1/2; 0; 1; 4/3}

f(x) 2 – 1)(–8x² + x – 3)(2x + 9)

- Tam thức 4x² – 1 có hai nghiệm x = –1/2 và x = 1/2, hệ số a = 4 > 0

⇒ 4x² – 1 mang dấu + nếu x 1/2 và mang dấu – nếu –1/2 2 + x – 3 có Δ = –47 0 khi x ∈ (–∞; –9/2) ∪ (–1/2; 1/2)

 f(x) = 0 khi x ∈ S = {–9/2; –1/2; 1/2}

 f(x) 2 - x)(3 - x²)>/<4x² + x - 3>

- Tam thức 3x² – x có hai nghiệm x = 0 và x = 1/3, hệ số a = 3 > 0.

⇒ 3x² – x mang dấu + khi x 1/3 và mang dấu – khi 0 2 có hai nghiệm x = √3 và x = –√3, hệ số a = –1 2 mang dấu – khi x √3 và mang dấu + khi –√3 2 + x – 3 có hai nghiệm x = –1 và x = 3/4, hệ số a = 4 > 0.

⇒ 4x² + x – 3 mang dấu + khi x 3/4 và mang dấu – khi –1 0 ⇔ x ∈ (–√3; –1) ∪ (0; 1/3) ∪ (3/4; √3)

 f(x) = 0 ⇔ x ∈ S = {±√3; 0; 1/3}

-----------------------------

Vậy là bên trên, Toploigiai đã cùng bạn tìm hiểu đáp án câu hỏi Tìm điều kiện để tam thức bậc hai luôn dương, luôn âm. Chúc các bạn thành công!