Tìm ảnh của đường thẳng qua phép tịnh tiến?

Câu hỏi: Tìm ảnh của đường thẳng qua phép tịnh tiến?

Trả lời: 

Hãy cùng Top lời giải thực hành 1 số bài tập liên quan đến phép tịnh tiến nhé!

Bài tập 1: Phép tịnh tiến theo vectơ v = (3;m). Tìm m để đt d: 4x + 6y – 1 = 0 biến thành chính nó qua phép tịnh tiến theo vectơ v

Lời giải: 

Từ đường thẳng d => VTCP của d là: vecto u = (- 6; 4)

Bài tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho vectơ v = (1;-3) và đường thẳng d có phương trình 2x - 3y + 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng d' là ảnh của d qua phép tịnh tiến vectơ v .

Lời giải: 

Cách 1. Sử dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.

Lấy điểm M(x;y) tùy ý thuộc d, ta có 2x - 3y + 5 = 0 (*)

Cách 2. Sử dụng tính chất của phép tịnh tiến

Cách 3. Để viết phương trình d' ta lấy hai điểm phân biệt M,N thuộc d, tìm tọa độ các ảnh M', N' tương ứng của chúng qua qua phép tịnh tiến theo vectơ v. Khi đó d' đi qua hai điểm M' và N'.

Cụ thể: Lấy M(-1;1), N(2;3) thuộc d, khi đó tọa độ các ảnh tương ứng là M'(0;-2), N'(3;0). Do d' đi qua hai điểm M', N' nên có phương trình 

Bài tập 3: Trong mặt phẳng vecto v=(−2;1) cho, đường thẳng d có phương trình 2x−3y+3=0, đường thẳng d1 có phương trình 2x−3y−5=0

a) Viết phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua Tv→.

b) Tìm tọa độ của w→ có giá vuông góc với đường thẳng d để d1 là ảnh của d qua Tw→

Lời giải: 

a) Lấy một điểm thuộc d, chẳng hạn M=(0;1).

Khi đó M′=Tv→(M)=(0−2;1+1)=(−2;2) thuộc d'. Vì d' song song với d nên phương trình của nó có dạng 2x−3y+C=0. Do M′∈d′ nên 2.(−2)−3.2+C=0. Từ đó suy ra C = 10. Do đó d' có phương trình 2x−3y+10=0

b) Lấy một điểm thuộc d, chẳng hạn M=(0;1). Đường thẳng d₂ qua M vuông góc với có vectơ chỉ phương là v→=(2;−3). Do đó phương trình của d₂ là x−0/2=y−1/−3. Gọi M' là giao của d1 với d₂ thì tọa độ của nó phải thỏa mãn hệ phương trình:

Từ đó suy ra w→= MM′→ =(16/13;−24/13).

Bài tập 4: 

Tìm tọa độ vectơ v sao cho Tv→ (d) = d' với d: 3x – y + 1 = 0 và d’: 3x – y – 7 = 0

Lời giải: 

d' là ảnh của d qua phép Tv→ thì d' song song hoặc trùng với d

Nhận thấy d//d’ nên với mỗi điểm A ∈ d; B ∈ d' ta có:

Bài tập 5: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 3x−y−9=0. Tìm phép tịnh tiến theo vectơ có phương song song với trục Ox biến d thành đường thẳng d’ đi qua gốc tọa độ và viết phương trình đường thẳng d’.

Lời giải: 

Giao của d với trục Ox là điểm A(3;0). Phép tịnh tiến phải tìm có vectơ tịnh tiến v→=AO→=(−3;0). Đường thẳng d' song song với d và đi qua gốc tọa độ nên nó có phương trình 3x−y=0.

Bài tập 6: Tìm PT đt d qua phép tịnh tiến theo vectơ v : d biến thành d’, biết: d’: 2x + 3y – 1 = 0 với vectơ v = (-2;-1)

Lời giải: 

* Cách 1: Gọi Tv→ (d) = d'. Khi đó d // d’ nên PT đt d có dạng: 2x + 3y + C = 0

Chọn A’(2;-1) ∈ d’. Khi đó: Tv→ (A) = A' ⇒ A(4; 0) ∈ d nên 8 + 0 + C = 0 ⇔ C = -8

Vậy: d: 2x + 3y – 8 = 0

* Cách 2: Chọn A’(2; -1) ∈ d’, Tv→ (A) = A' ⇒ A(4; 0) ∈ d và chọn B’(-1;1) ∈ d’, Tv→ (B) = B' ⇒ B(1;2) ∈ d

Đt d đi qua 2 điểm A, B nên PT đt d là:

* Cách 3: Gọi M’(x’;y’) ∈ d’, Tv→(M) = M'

Ta có: M’ ∈ d’

⇔ 2x’ + 3y’ – 1 = 0

⇔ 2x – 4 + 3y – 3 – 1 = 0

⇔ 2x + 3y – 8 = 0

⇔ M ∈ d: 2x + 3y – 8 = 0

Bài tập 7: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình x² + y² − 2x + 4y − 4=0. Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ v→ = (−2;5).

Lời giải: 

Cách 1. Dễ thấy (C) là đường tròn tâm I(1;−2), bán kính r = 3. Gọi I′ = Tv→(I) = (1−2;−2+5) = (−1;3) và (C') là ảnh của (C) qua Tv→ thì (C') là đường tròn tâm (I') bán kính r=3. Do đó (C') có phương trình:

(x+1)² + (y−3)² = 9

Cách 2. Biểu thức tọa độ của Tv→ là

Thay vào phương trình của (C) ta được

(x′+2)² + (y′−5)² − 2(x′+2) + 4(y′−5) – 4 = 0

⇔ x′² + y′² + 2x′ − 6y′ + 1 = 0

⇔ (x′+1)² + (y′−3)² = 9

Do đó (C') có phương trình (x+1)² + (y−3)² = 9