Quan hệ tương đương là gì?

Câu trả lời chính xác nhất: Quan hệ R trên tập A được cho là quan hệ tương đương nếu và chỉ khi quan hệ R là phản xạ, đối xứng và bắc cầu.

- Phản xạ : Một quan hệ được cho là phản xạ, nếu (a, a) ∈ R, với mọi a ∈ A.

- Đối xứng : Một quan hệ được cho là đối xứng, nếu (a, b) ∈ R, thì (b, a) ∈ R.

- Bắc cầu  : Một quan hệ được cho là bắc cầu nếu (a, b) ∈ R và (b, c) ∈ R, thì (a, c) ∈ R.

Hãy cùng Top lời giải tìm hiểu thêm về quan hệ tương đương qua bài viết dưới đây nhé!

1. Khái niệm về quan hệ tương đương

Quan hệ tương đương là một loại quan hệ nhị phân. Quan hệ R trên tập A được cho là quan hệ tương đương nếu và chỉ khi quan hệ R là phản xạ, đối xứng và bắc cầu.

- Phản xạ: Một quan hệ được cho là phản xạ, nếu (a, a) ∈ R, với mọi a ∈ A.

- Đối xứng: Một quan hệ được cho là đối xứng, nếu (a, b) ∈ R, thì (b, a) ∈ R.

- Bắc cầu: Một quan hệ được cho là bắc cầu nếu (a, b) ∈ R và (b, c) ∈ R, thì (a, c) ∈ R.

2. Ví dụ về quan hệ tương đương

- Quan hệ R trên các chuỗi ký tự xác định bởi aRb nếu a và b có cùng độ dài. Khi đó R là quan hệ tương đương.

- Cho m là số nguyên dương và R quan hệ trên Z sao cho aRb nếu a – b chia hết m, khi đó R là quan hệ tương đương.

- Rõ ràng quan hệ này có tính phản xạ và đối xứng.

- Cho a, b, c sao cho a – b và b – c chia hết cho m, khi đó a – c = a – b + b – c cũng chia hết cho m. Suy ra R có tính chất bắc cầu.

- Quan hệ này được gọi là đồng dư modulo m và chúng ta viết a  b (mod m) thay vì aRb

3. Các thuộc tính của quan hệ tương đương

Giả sử R là một quan hệ trên tập các cặp số nguyên dương có thứ tự sao cho ((a, b), (c, d)) ∈ R nếu và chỉ khi ad = bc. R có phải là quan hệ tương đương hay không ?

- Thuộc tính phản xạ

+ Theo tính chất phản xạ, nếu (a, a) ∈ R, với mọi a∈A

+ Đối với tất cả các cặp số nguyên dương, ((a, b), (a, b))) ∈ R.

+ Rõ ràng, chúng ta có thể nói ab = ab với mọi số nguyên dương.

- Thuộc tính đối xứng

+ Từ tính chất đối xứng, nếu (a, b) ∈ R, thì chúng ta có thể nói (b, a) ∈ R

+ Đối với điều kiện đã cho, nếu ((a, b), (c, d))) ∈ R, thì ((c, d), (a, b)) ∈ R.

+ Nếu ((a, b), (c, d)) ∈ R, thì ad = bc và cb = da vì phép nhân có tính chất giao hoán.

+ Do đó ((c, d), (a, b)) ∈ R

- Thuộc tính bắc cầu

+ Từ thuộc tính bắc cầu, nếu (a, b) ∈ R và (b, c) ∈ R, thì (a, c) cũng thuộc R

+ Đối với tập hợp các cặp số nguyên dương có thứ tự đã cho,  ((a, b), (c, d)) ∈ R và ((c, d), (e, f)) ∈ R, thì ((a, b), (e, f) ∈ R.

+ Bây giờ, giả sử rằng ((a, b), (c, d))) ∈ R và ((c, d), (e, f)) ∈ R.

+ Sau đó, chúng tôi nhận được, ad = cb và cf = de.

+ Quan hệ trên ngụ ý rằng a / b = c / d và c / d = e / f, nên a / b = e / f ta được af = be.

+ Do đó ((a, b), (e, f))) ∈ R

4. Lớp tương đương

Cho R là quan hệ tương đương trên A và phần tử a ∈ A . Lớp tương đương chứa a được ký hiệu bởi [a]R hoặc [a] là tập [a]R = {b ∈ A| b R a}

Ví dụ. Tìm các lớp tương đương modulo 8 chứa 0 và 1? 

Giải. 

Lớp tương đương modulo 8 chứa 0 gồm tất cả các số nguyên a chia hết cho 8. Do đó [0] 8 ={ …, – 16, – 8, 0, 8, 16, … }

Tương tự [1] 8 = {a | a chia 8 dư 1} = { …, – 15, – 7, 1, 9, 17, … }

Chú ý. Trong ví dụ cuối, các lớp tương đương [0]8 và [1]8 là rời nhau. Tổng quát, chúng ta có Định lý. Cho R là quan hệ tương đương trên tập A và a, b ∈ A, Khi đó (i) a R b nếu [a]R = [b]R (ii) [a]R ≠ [b]R nếu [a]R ∩ [b]R = Ø

Cho {A1 , A2 , … } là phân họach A thành các tập con không rỗng, rời nhau . Khi đó có duy nhất quan hệ tương đương trên A sao cho mỗi Ai là một lớp tương đương.

Với mỗi a, b ∈ A, ta đặt a R b nếu có tập con Ai sao cho a, b ∈ Ai.

Dễ dàng chứng minh rằng R là quan hệ tương đương trên A và [a]R = Ai nếu a ∈ Ai.

4. Một số điều cần chú ý

- Quan hệ rỗng trên tập rỗng được coi là quan hệ tương đương. Nhưng, quan hệ rỗng trên tập không rỗng không được coi là quan hệ tương đương.

- Mọi quan hệ không được coi là một hàm, nhưng mọi hàm đều được coi là một quan hệ.

----------------------

Trên đây Top lời giải đã cùng các bạn trả lời câu hỏi Quan hệ tương đương là gì? Hy vọng qua bài viết này, các bạn sẽ bổ sung thêm cho mình thật nhiều kiến thức và học tập thật tốt nhé! Cảm ơn các bạn đã theo dõi và đọc bài viết!