Lũy thừa bậc n của a là gì?

Câu hỏi: Lũy thừa bậc n của a là gì?

Trả lời: 

Lũy thừa bậc n của a (an) là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a: a gọi là cơ số, n≠0 gọi là số mũ.

Ví dụ: Lũy thừa bậc 2 của 5 là 5²=5.5=25

Cùng Top lời giải tìm hiểu thêm về lũy thừa để hiểu rõ hơn câu hỏi trên nhé.

1. Lũy thừa là gì?

Lũy thừa là một phép toán toán học, được viết dưới dạng an, bao gồm hai số, cơ số a và số mũ hoặc lũy thừa n, và được phát âm là "a lũy thừa n". Khi n là một số nguyên dương, lũy thừa tương ứng với phép nhân lặp của cơ số (thừa số): nghĩa là an là tích của phép nhân n cơ số.

Số mũ thường được hiển thị dưới dạng chỉ số trên ở bên phải của cơ số. Trong trường hợp đó

+ aⁿ được gọi là "lũy thừa bậc n của a", "a lũy thừa n", hoặc hầu hết ngắn gọn là "a mũ n"

+ a² còn được gọi là "a bình phương" hoặc "bình phương của a"

+ a³ còn được gọi là "a lập phương" hoặc "lập phương của a"

Ta có a¹ = a, và, với mọi số nguyên dương m và n, ta có a^m ⋅ aⁿ = a^m+n. Để mở rộng thuộc tính này thành số mũ nguyên không dương, a⁰ được định nghĩa là 1, a⁻ⁿ (với n là số nguyên dương và a không phải là 0) được định nghĩa là 1/aⁿ. Đặc biệt, a⁻¹ bằng 1/a, nghịch đảo của a.

Định nghĩa về lũy thừa có thể được mở rộng để cho phép bất kỳ số mũ thực hoặc phức nào. Luỹ thừa theo số mũ nguyên cũng có thể được định nghĩa cho nhiều loại cấu trúc đại số, bao gồm cả ma trận.

Luỹ thừa được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, bao gồm kinh tế học, sinh học, hóa học, vật lý và khoa học máy tính, với các ứng dụng như lãi kép, tăng dân số, động học phản ứng hóa học, hành vi sóng và mật mã khóa công khai.

2. Một số công thức liên quan đến lũy thừa

- Nhân hai lũy thừa cùng cơ số :

Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng các số mũ

a^m.aⁿ=a^m+n

Ví dụ:  3⁴.3⁵=3⁴⁺⁵=3⁹, x³.x=x³.x¹=x ³⁺¹=x⁴

- Chia hai lũy thừa cùng cơ số:

Khi chia hai lũy thừa cùng cơ số (khác 0), ta giữ nguyên cơ số và trừ các số mũ

a^m:aⁿ=a^m−n(a≠0,m≥n)

Ví dụ: 7⁸:7³=7 ⁸⁻³=7 ⁵, x⁷:x²=x ⁷⁻²=x⁵(x≠0)

- Lũy thừa của lũy thừa:  (a^m)ⁿ=a^m.n

- Lũy thừa của một tích: (a.b)^m= a^m.b^m

3, So sánh hai lũy thừa

- So sánh hai lũy thừa cũng cơ số, khác số mũ:

Nếu m>n thì a^m>aⁿ

- So sánh hai lũy thừa khác cơ số, cùng số mũ:

Nếu a>b thì  a^m>b^m

- Ví dụ: 2³<3³,9⁶>5⁶

4. Bài tập luyện tập

Bài 1: So sánh:

a) 5³⁶ và 11²⁴

b) 3²ⁿ và 2³ⁿ (n ∈ N*)

c) 5²³ và 6.5²²

d) 2¹³ và 2¹⁶

e) 21¹⁵ và 27⁵.49⁸

f) 72⁴⁵ – 72⁴⁴ và 72⁴⁴ – 72⁴³

Lời giải

a) 5³⁶ = 5¹² (5³)¹² = 125¹²; 11²⁴ = 11^2.12 = (11²)¹² = 121¹²

Mà 125¹² > 121¹² => 5³⁶ > 121¹²

b) Tương tự

c) Ta có: 5²³ = 5.5²² < 6.5²²

d) Tương tự.

e) 21¹⁵ = (7.3)¹⁵ = 7¹⁵.3¹⁵

27⁵.49⁸ = (3³)⁵.(7²)⁸ = 3¹⁵.7¹⁶ = 7.3¹⁵.7¹⁵ > 3¹⁵.7¹⁵ = 21¹⁵

=> 27⁵.49⁸ > 21¹⁵.

f) 72⁴⁵ – 72⁴⁴ = 72⁴⁴.(72 – 1) = 72⁴⁴.71

72⁴⁴ – 72⁴³ = 72⁴³.(72 – 1) = 72⁴³.71

Mà 72⁴³.71 < 72⁴⁴.71 nên suy ra: 72⁴⁴ – 72⁴³ < 72⁴⁵ – 72⁴⁴

Bài 2: Tính giá trị biểu thức (Thu gọn các tổng sau):

a) A = 2 + 2² + 2³ + … + 2²⁰¹⁷

b) B = 1 + 3² + 3⁴ + … + 3²⁰¹⁸

c) C = – 5 + 5² – 5³ + 5⁴ – … – 5²⁰¹⁷ + 5²⁰¹⁸

Lời giải

a) Ta có: A = 2 + 2² + 2³ + … + 2²⁰¹⁷

2A = 2.( 2 + 2² + 2³ + … + 2²⁰¹⁷)

2A = 2² + 2³ + 2⁴ + … + 2²⁰¹⁸

2A – A = (2² + 2³ + 2⁴ + … + 2²⁰¹⁸) – (2 + 2² + 2³ + … + 2²⁰¹⁷)

A = 2²⁰¹⁸ – 2

b) B = 1 + 3² + 3⁴ + … + 3²⁰¹⁸

3².B = 3².( 1 + 3² + 3⁴ + … + 3²⁰¹⁸)

9B = 3² + 3⁴ + 3⁶ + … + 3²⁰²⁰

9B – B = (3² + 3⁴ + 3⁶ + … + 3²⁰²⁰) – (1 + 3² + 3⁴ + … + 3²⁰¹⁸)

8B = 3²⁰²⁰ – 1

B = (3²⁰²⁰ – 1) : 8.

c) C = – 5 + 5² – 5³ + 5⁴ – … – 5²⁰¹⁷ + 5²⁰¹⁸

5C = 5.( – 5 + 5² – 5³ + 5⁴ – … – 5²⁰¹⁷ + 5²⁰¹⁸)

5C = -5² + 5³ – 5⁴ + 5⁵ – … – 5²⁰¹⁸ + 5²⁰¹⁹

5C + C = (-5² + 5³ – 5⁴ + 5⁵ – … – 5²⁰¹⁸ + 5²⁰¹⁹) + (- 5 + 5² – 5³ + 5⁴ – … – 5²⁰¹⁷ + 5²⁰¹⁸)

6C = 5²⁰¹⁹ – 5

C = (5²⁰¹⁹ – 5) : 6

Bài 3: Thực hiện các phép tính sau:

a) 3⁷.27⁵.81³

b) 100⁶.1000⁵.10000³

c) 36⁵ : 18⁵

d) 24.5⁵ + 5².5³

e) 125⁴ : 5⁸

f) 81.(27 + 9¹⁵) : (3⁵ + 3³²)

Lời giải

a) 3⁷.27⁵.81³ = 3⁷.(3³)⁵.(3⁴)³ = 3⁷.3¹⁵.3¹² = 3^7+15+12 = 3³⁴.

b) Tương tự.

c) 36⁵ : 18⁵ = (36 : 18)⁵ = 2⁵ = 32.

d) 5⁵ + 5².5³ = 24.5⁵ + 5⁵ = 5⁵.(24 + 1) = 5⁵.25 = 5⁵.5² = 5⁷.

e) 125⁴ : 5⁸ = (5³)⁴ : 5⁸ = 5¹² : 5⁸ = 5^12-8 = 5⁴ = 625.

f) 81.(27 + 9¹⁵) : (3⁵ + 3³²) = 3⁴.(3³ + 3³⁰) : [3⁵(1 + 3²⁷)]

= 3⁴.3³.(1 + 3²⁷) : [3⁵.(1 + 3²⁷)]

= 3⁷ : 3⁵ = 3^7-5 = 3² = 9.

Hoặc: 81.(27 + 9¹⁵) : (3⁵ + 3³²) = 3⁴.(3³ + 3³⁰) : (3⁵ + 3³²)

= 3².(3³.3² + 3³⁰.3²) : (3⁵ + 3³²)

= 3²(3⁵ + 3³²) : (3⁵ + 3³²)

= 3² = 9

Bài 4: Tìm tập hợp các số tự nhiên x, biết rằng lũy thừa 5^{2x – 1} thỏa mãn điều kiện:

100 < 5^{2x – 1} < 5⁶.

Lời giải

Ta có: 100 < 5^{2x – 1} < 5⁶

=> 5² < 100 < 5^2x-1 < 5⁶

=> 2 < 2x – 1 < 6

=> 2 + 1 < 2x < 6 + 1

=> 3 < 2x < 7

Vì x ∈ N nên suy ra: x ∈ {2; 3} là thỏa mãn.