Số nguyên là gì? Một số phép toán với hai số nguyên?

Tổng hợp những kiến thức về số nguyên cùng với một số phép toán với hai số nguyên. Hãy cùng thầy Phú toploigiai khám phá và tìm hiểu những kiến thức bổ ích qua bài viết chi tiết dưới đây!

1. Số nguyên là gì?

- Số nguyên là một tập hợp các số mà không có phần thập phân, được chia thành ba nhóm chính: số nguyên dương, số nguyên âm và số 0. 

+ Số nguyên dương: Đây là những số lớn hơn 0, như 1, 2, 3,... Số nguyên dương biểu thị các giá trị dương hoặc tăng trưởng, chẳng hạn như số lượng đối tượng, khoảng cách, hoặc thời gian.

+ Số nguyên âm: Đây là những số nhỏ hơn 0, như -1, -2, -3,... Số nguyên âm thường được sử dụng để biểu thị sự giảm sút hoặc lùi bước, chẳng hạn như mức nợ, sự mất mát, hoặc nhiệt độ dưới 0.

+ Số 0: Số 0 có vai trò đặc biệt trong toán học. Nó không phải là số dương cũng không phải là số âm, nhưng đóng vai trò là điểm trung tâm trong trục số và là cơ sở cho nhiều phép toán như cộng và trừ.
 

2. Các phép toán với số nguyên

* Quy tắc cộng hai số nguyên 

- Quy tắc cộng hai số nguyên khác dấu

+ Hai số nguyên đối nhau có tổng bằng 0.

+ Muốn cộng hai số nguyên khác dấu không đối nhau, ta tìm hiệu hai giá trị tuyệt đối của chúng (số lớn trừ số nhỏ) rồi đặt trước kết quả tìm được dấu của số có giá trị tuyệt đối lớn hơn.

- Cộng với số 0

a + 0 = 0 + a = a

- Cộng với số đối

+ Tổng của hai số nguyên đối nhau luôn bằng 0

a + (-a) = 0

+ Nếu tổng của hai số nguyên bằng 0 thì chúng là hai số đối nhau:

+ Nếu a + b = 0 thì a = -b và b = -a

- Cộng hai số nguyên dương chính là cộng hai số tự nhiên khác không.

- Muốn cộng hai số nguyên âm, ta cộng hai giá trị tuyệt đối của chúng rồi đặt dấu “-” trước kết quả.

- Quy tắc cộng hai số nguyên cùng dấu: Ta cộng hai giá trị tuyệt đối của chúng rồi đặt dấu chung trước kết quả.

* Quy tắc trừ hai số nguyên: Muốn trừ số nguyên a cho số nguyên b, ta cộng a với số đối của b.

a - b = a + (-b)

Nhận xét: Phép trừ trong N không phải bao giờ cũng thực hiện được, còn trong Z luôn thực hiện được.

* Quy tắc nhân hai số nguyên:

- Để nhân hai số nguyên khác dấu, ta làm như sau:

+ Bước 1: Bỏ dấu “-” trước số nguyên âm, giữ nguyên số còn lại

+ Bước 2: Tính tích của hai số nguyên dương nhận được ở Bước 1

+ Bước 3: Thêm dấu “-” trước kết quả nhận được ở Bước 2, ta có kết quả cần tìm.

Nhận xét: Tích của hai số nguyên khác dấu là số nguyên âm.

Chú ý: Cho hai số nguyên dương a và b, ta có:

(+a).(−b)=−a.b

(−a).(+b)=−a.b

Ví dụ:

a) (−20).5=−(20.5)=−100.

b) 15.(−10)=−(15.10)= − 150.

c) 20.(+50)+4.(−40) = 1000−(4.40) = 1000−160 = 840.

- Để nhân hai số nguyên âm, ta làm như sau:

+ Bước 1: Bỏ dấu “-” trước mỗi số

+ Bước 2: Tính tích của hai số nguyên dương nhận được ở Bước 1, ta có tích cần tìm.

Nhận xét:

- Khi nhân hai số nguyên dương, ta nhân chúng như nhân hai số tự nhiên.

- Tích của hai số nguyên cùng dấu là số nguyên dương.

Chú ý:

Cho hai số nguyên dương a và b, ta có: 

(−a).(−b) = (+a).(+a) = a.b

(−a).(+b) = −a.b

Ví dụ:

a) (−4).(−15) = 4.15 = 60(−4).(−15) = 4.15 = 60

b) (+2).(+5) = 2.5 = 10(+2).(+5) = 2.5 = 10.

5. Bài tập về số nguyên

Bài tập 1: Tìm x, biết:

a) x – 13 = 47;

b) x – 42 = -9;

c) 36 – x = 12;

d) 45 – x = -3;

e) (-12) – x = 2.

Trả lời

a) x – 13 = 47 nên x = 47 + 13 = 60.

b) x – 42 = -9 nên x = -9 + 42 = 33.

c) 36 – x = 12 nên x = 36 – 12 = 24.

d) 45 – x = -3 nên x = 45 – (-3) = 45 + 3 = 48.

e) (-12) – x = 2 nên x = (-12) – 2 = -(12 + 2) = -14.

Bài tập 2: Tìm x, biết:

a) x + 20 = 15;

b) 16 + x = -7;

c) -8 + x = 13;

d) 2 + (-x) = 11.

Trả lời

a) x + 20 = 15 nên x = 15 – 20 = -5.

b) 16 + x = -7 nên x = -7 – 16 = -(7 + 16) = -23.

c) -8 + x = 13 nên x = 13 – (-8) = 13 + 8 = 21.

d) 2 + (-x) = 11 nên (-x) = 11 – 2 = 9.

Vì (-x) = 9 nên x = -9.

Bài tập 3: Tìm số nguyên x, biết rằng x + 5 là số nguyên âm nhỏ nhất có hai chữ số.

Trả lời

Số nguyên âm nhỏ nhất có hai chữ số là -99.

Vì x + 5 là số nguyên âm nhỏ nhất có hai chữ số nên x + 5 = -99.

Do đó, x = -99 – 5 = (-99) + (-5) = -(99 + 5) = -104.

Bài tập 4: Tính tổng tất cả các số nguyên x thỏa mãn:

a) -4 < x < 3;

b) -10 < x < 10;

c) -10 ≤ x < 10.

Trả lời

a) Các số nguyên x thỏa mãn -4 < x < 3 là: -3; -2; -1; 0; 1; 2.

Tổng của các số này là:

(-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2

= (-3) + [(-2) + 2] + [(-1) + 1] + 0

= (-3) + 0 + 0 + 0

= -3.

b) Tổng của các số nguyên x thỏa mãn -10 < x < 10 là:

(-9) + (-8) + (-7) + … + 0 + … + 7 + 8 + 9

= [(-9) + 9] + [(-8) + 8] + [(-7) + 7] + … + 0

= 0

c) Tổng của các số nguyên x thỏa mãn -10 ≤ x < 10 là:

(-10) + (-9) + (-8) + … + 0 + … + 8 + 9

= (-10) + [(-9) + 9] + [(-8) + 8] + … + 0

= (-10) + 0 + 0 + … + 0

= -10.