Định lý hàm cosin và bài tập vận dụng hay nhất

1. Nội dung định lý hàm cosin trong tam giác vuông

Trong một tam giác, ta phát biểu định lý hàm cosin như sau: Trong một tam giác, bình phương một cạnh bằng tổng của hai cạnh kia trừ đi hai lần tích của chúng với cosin của góc xen giữa hai cạnh đó.

Trong tam giác ABC, với AB = c, BC = a, AC = b ta có:

Nhận xét: Xét trong mặt phẳng, nếu có 1 tam giác biết trước hai cạnh và góc xen giữa, ta sẽ tính được độ dài của cạnh còn lại hoặc có thể tính góc khi biết 3 cạnh của tam giác đó.

Ta dễ dàng thấy được, nội dung định lý Pytago là trường hợp đặc biệt của định lý Cosin, cụ thể:

Cho tam giác ABC là tam giác vuông, ta suy ra được:

Khi tam giác ABC vuông tại A, cos α (hoặc A) = 0 => a² = b² + c²

Khi tam giác ABC vuông tại B, cos β (hoặc B) = 0 => b² = a² + c²

Khi tam giác ABC vuông tại C, cos γ (hoặc C) = 0 => c² = a² + b²

>>> Tham khảo: Bài tập về định lý Talet

2. Chứng minh định lý hàm cosin

Để chứng minh định lý này bạn có thể áp dụng phương pháp dưới đây:

Cho tam giác ABC với BC = a, AC = b, AB = c.

>>> Tham khảo: Đường cao trong tam giác vuông có tính chất gì?

3. Hệ quả của định lý cosin

Hệ quả này có một ý nghĩa quan trọng: “Trong một tam giác, ta luôn tính được các góc nếu biết 3 cạnh.“

Như vậy, nếu định lý Côsin cho phép ta tính cạnh thì hệ quả của nó cho phép ta tính góc.

Định lý Cosin còn được ứng dụng trong giải bài tập liên quan đến giải tam giác hoặc một đường tròn, ví dụ như:

Xác định cạnh thứ ba của một tam giác khi biết 2 cạnh còn lại và góc xen giữa

Tìm ba góc khi đã biết 3 cạnh của một tam giác

Tìm cạnh thứ ba khi biết hai cạnh còn lại và góc đối diện một trong hai cạnh cho trước

Ngoài ra, có thể áp dụng định lý hàm cosin để tính tam giác trong thực thế. Trong thực tế có nhiều bài toán yêu cầu tính chiều cao của một cây cao nào đó hay một tòa nhà nào đó mà ta không thể trèo lên đến đỉnh của nó để đo trực tiếp được. Chẳng hạn như muốn đo chiều cao của tháp Eiffel ta cũng không thể trèo lên đỉnh của nó mà kéo thước dây để đo trực tiếp được. Vậy để đo chiều cao của nó thì  ta sẽ áp dụng định lý hàm số cos vào việc giải tam giác để tính chiều cao theo yêu cầu.

5. Bài tập vận dụng

Một số ví dụ về ứng dụng của định lí cosin trong giải toán các bạn có thể tham khảo:

Bài 1: Tính BC biết tam giác ABC có 

Lời giải

Bài 2: Cho tam giác ABC biết góc B=600, BC=8cm, AB=5Cm. Tính độ dài các cạnh AC và các góc A, C của tam giác đó.

Lời giải:

Bài 3: Cho tam giác ABC có các cạnh 

Tính cosA và góc A.

Lời giải

Bài 4: Cho tam giác ABC, tính số đo các góc A, B, C biết a=14, b=18, c=20

Lời giải:

Áp dụng hệ quả của định cosin ta có:

Áp dụng tương tự ta có góc B xấp xỉ 61⁰, góc C xấp xỉ 76⁰

Bài 5: Cho tam giác ABC có AB = 6cm; AC = 5cm và 

Tính BC?

Lời giải

Bài 6: Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4 và 

Tính BC.

Lời giải

Đáp án D

Bài 7: Một ô tô muốn đi từ địa điểm H đến địa điểm G, nhưng giữa H và G là một ngọn núi cao nên ô tô phải đi thành 2 đoạn từ H lên K (ô tô leo dốc lên núi) và từ K đến G (ô tô xuống núi). Các đoạn đường tạo thành tam giác HKG với HK = 15km, KG = 20km và góc HKG = 120^o. Giả sử cứ chạy 1km, ô tô tiêu thụ hết 0,3 lít xăng. Giá thành xăng hiện nay là 13050 đồng một lít xăng.

a, Ô tô đi từ H đến G hết bao nhiêu tiền xăng?

b, Nếu người ta đào một đường hầm xuyên núi chạy thẳng từ H đến G thì ô tô chạy trên con đường mới này tiết kiệm được bao nhiêu kinh phí?

Lời giải

a, Tổng quãng đường mà ô tô phải đi là:

S = HK + KG = 15 + 20 = 35 km

Ô tô đi hết quãng đường tiêu thụ hết số lít xăng là:

35 . 0,3 = 10,5 lít

Ô tô đi từ H đến G hết số tiền xăng là:

10,5 . 13050 = 137025 đồng

b, Ô tô đi thẳng từ H đến G

Áp dụng định lý Cô-sin vào tam giác HKG ta có:

Do đó ô tô phải đi quãng đường là 5√37km và tiêu thụ hết số lít xăng là: 

-----------------------------

Trên đây Toploigiai đã tổng hợp Định lý hàm cosin và bài tập vận dụng hay nhất. Hy vọng những thông tin trên sẽ giúp ích cho bạn giải các bài tập liên quan đến định lý hàm cosin và ứng dụng trong thực tế. Chúc bạn học tốt!