Công thức tính thể tích khối tứ diện?

Cùng Top lời giải trả lời chi tiết, chính xác câu hỏi: “Công thức tính thể tích khối tứ diện?” và đọc thêm phần kiến thức tham khảo giúp các bạn học sinh ôn tập và tích lũy kiến thức bộ môn Toán 12

Công thức tính thể tích khối tứ diện?

- Tứ diện ABCD có BC = a, CA = b, AB = c, AD = d, BD = e, CD = f ta có công  thức tính thể tích của tứ diện theo sáu cạnh như sau:

- Trong đó

M = a²d²(b² + e² + c² + f² - a² - d²)

N = b²d²(a² + d² + c² + f² - b² - e²)

P= c²f²(a² + d² + b² + e² - c² - f²)

Q= (abc)² + (aef)² + (bdf)² + (cde)²

Kiến thức tham khảo về tứ diện.

1. Tứ diện

- Tứ diện là một hình có bốn đỉnh trong không gian ba chiều. Tứ diện có bốn mặt là bốn tam giác và có sáu cạnh. Đây là dạng hình khối ba chiều đơn giản nhất, cũng như tam giác là dạng hình phẳng hai chiều đơn giản nhất.

- Tứ diện có bốn đỉnh A, B, C, D thường được ký hiệu là (ABCD). Bất kì điểm nào trong số A, B, C, D cũng có thể được coi là đỉnh; còn mặt tam giác đối diện với nó được gọi là đáy. Chẳng hạn, nếu chọn A là đỉnh thì (BCD) là mặt đáy.

+ Trọng tuyến là một trong bốn đường hạ từ một đỉnh xuống trọng tâm của tam giác mặt đáy. Khái niệm trọng tuyến của tứ diện có sự liên hệ với trung tuyến trong tam giác.

+ Đường cao của tứ diện là một trong bốn đoạn thẳng hạ vuông góc từ một đỉnh xuống mặt đáy.

+ Thể tích của tứ diện có thể được tính như đối với hình chóp, bằng một phần ba tích đường cao và diện tích mặt đáy.

2.  Tứ diện đều

- Trước hết, chúng ta cùng nhắc lại khái niệm khối tứ diện. Cụ thể, trong không gian cho 4 điểm không đồng phẳng A, B, C, D. Khối đa diện có 4 đỉnh A, B, C, D gọi là khối tứ diện. Ký hiệu là ABCD

- Đặc biệt nếu khối tứ diện có tất cả các mặt là tam giác đều. Thì khối tứ diện đó gọi là khối tứ diện đều.

Thể tích khối tứ diện đều cạnh a

- Tứ diện đều cạnh a là tứ diện có tất cả các cạnh bằng a.

- Khi giải toán liên quan đến tứ diện đều chúng ta cần lưu ý cách vẽ hình. Cụ thể cách vẽ tứ diện đều ABCD ta thực hiện theo các bước sau:

+ Coi hình tứ diện đều là một hình chóp tam giác đều. Chẳng hạn A.BCD.

+ Vẽ mặt là mặt đáy. Chẳng hạn là mặt BCD.

+ Vẽ một đường trung tuyến của mặt đáy BCD. Chẳng hạn BM là trung tuyến của tam giác BCD.

+ Xác định trọng tâm G của tam giác BCD. Và G chính là tâm của đáy.

+ Dựng đường cao (đường thẳng đi qua G song song với mép bên vở hoặc tờ giấy của các bạn).

+ Xác định điểm A trên đường vừa dựng và hoàn thiện hình.

=> Khối tứ diện đều ABCD cạnh a có thể tích là:

3. Các tính chất của tứ diện đều

Tứ diện đều có các tính chất như sau:

- Bốn mặt xung quanh là các tam giác đều bằng nhau

- Các mặt của tứ diện là những tam giác có ba góc đều nhọn.

- Tổng các góc tại một đỉnh bất kì của tứ diện là 180^o.

- Hai cặp cạnh đối diện trong một tứ diện có độ dài bằng nhau

- Tất cả các mặt của tứ diện đều tương đương nhau.

- Bốn đường cao của tứ diện đều có độ dài bằng nhau.

- Tâm của các mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp nhau, trùng với tâm của tứ diện.

- Hình hộp ngoại tiếp tứ diện là hình hộp chữ nhật

- Các góc phẳng nhị diện ứng với mỗi cặp cạnh đối diện của tứ diện bằng nhau.

- Đoạn thẳng nối trung điểm của các cạnh đối diện là một đường thẳng đứng vuông góc của cả hai cạnh đó

- Một tứ diện có ba trục đối xứng

- Tổng các cos của các góc phẳng nhị diện chứa cùng một mặt của tứ diện bằng 1.

4. Tứ diện gần đều

* Tứ diện gần đều là tứ diện mà có các cặp cạnh đối bằng nhau.

* Tính chất:

- Tính chất 1: Tổng các góc phẳng ở mỗi đỉnh bằng 180º.

- Tính chất 2: Bốn mặt của tứ diện là các tam giác có diện tích bằng nhau

Chứng minh:

+ Trải phẳng tứ diện như hình vẽ. Khi đó tổng các góc phẳng ở đỉnh D bằng tổng các góc D1, D2, D3 và bằng 180º.

+ Cũng từ đó dễ dàng thấy tính chất 2 đúng.

- Tính chất 3: Bốn đường cao của tứ diện bằng nhau.

Chứng minh:

Do tính chất 2 nên áp dụng công thức tính chiều cao của khối chóp ta suy ra tính chất 3.

- Tính chất 4: Mỗi đường nối trung điểm của các cặp cạnh đối là đường vuông góc chung của cặp cạnh tương ứng đó.

- Tính chất 5: Tứ diện có hai trục đối xứng.

- Tính chất 6: Tâm mặt cầu nội tiếp và tâm mặt cầu ngoại tiếp bằng nhau.

- Tính chất 7: Tâm mặt cầu ngoại tiếp và trọng tâm trùng nhau.

- Tính chất 8: Tâm mặt cầu nội tiếp và trọng tâm trùng nhau.

- Tính chất 9: Tổng cô sin của các nhị diện chứa cùng một mặt bằng của tứ diện bằng 1

- Tính chất 10:Góc nhị diện của các cặp cạnh đối bằng nhau. Ngược lại, tứ diện có một trong các tính chất trên là các tứ diện gần đều.

Thể tích tứ diện gần đều

- Giả sử độ dài của ba cặp cạnh của cạnh tứ dιện gần đều là a, b, c. Dựng khối hộp chữ nhật ngoại tiếp tứ dιện gần đều như hình. Gọi độ dài ba cạnh của khối hộp chữ nhật là x, y, z.

- Ta có: x² + y² = a², y² + z² = b² và x² + z² =c ². Cộng 3 phương trình sau đó trừ đi các phương trình ban đầu suy ra được:

-Mỗi khối tứ dιện được “cắt” đi để tạo thành khối tứ dιện gần đều có thể tích bằng nhau và bằng 1/6 thể tích khối hộp chữ nhật. Vậy thể tích khối tứ dιện gần đều bằng 1 - 4.(1/6)=1/3 thể tích khối hộp.

- Vậy thể tích khối tứ dιện gần đều cần tìm là: