Công thức nguyên hàm logarit

Tổng hợp Công thức nguyên hàm logarit đầy đủ, chi tiết nhất, bám sát nội dung SGK Toán lớp 12, giúp các em ôn tập tốt hơn.

Công thức nguyên hàm logarit

Ta có bảng nguyên hàm của các hàm số cơ bản hay gặp

Kiến thức tham khảo về Logarit.

1. Định nghĩa logarit

- Trong toán học, logarit của một số là lũy thừa mà một giá trị cố định, gọi là cơ số, phải được nâng lên để tạo ra số đó. Ví dụ, logarit cơ số 10 của 1000 là 3 vì 1000 là 10 lũy thừa 3: 1000 = 10 × 10 × 10 = 10³. Tổng quát hơn, nếu x = by thì y được gọi là logarit cơ số b của x và được ký hiệu là log_bx.

- Logarit do John Napier giới thiệu lần đầu tiên vào năm 1614 như là một cách để đơn giản hóa việc tính toán. Về sau, nó đã nhanh chóng được nhiều nhà khoa học sử dụng để hỗ trợ trong tính toán, đặc biệt là các phép tính yêu cầu độ chính xác cao, thông qua thước loga và bảng logarit. Các công cụ này dựa trên tính chất rằng logarit của một tích bằng tổng các logarit của các thừa số:

log_b (xy) = log_b x+ log_b y

- Logarit cơ số 10 còn được gọi là Logarit thập phân, số log10b thường được viết là logb hoặc lgb. Logarit thập phân có đầy đủ các tính chất của logarit với cơ số lớn hơn 1.

lgb=α↔10^α =b

- Logarit cơ số e ( e ≈ 2,718281828459045) hay logarit tự nhiên, số log_eb thường được viết là lnb

lnb=α↔e^α=b

2. Tính chất của Logarit

* Các tính chất của Logarit có thể chia ra thành các nhóm sau đây:

- Hàm số logarit

Để giải thích định nghĩa logarit, cần phải chứng minh rằng phương trình:

+ Có một nghiệm x duy nhất với y và b là số dương và b khác 1. Để chứng minh điều này, ta cần đến định lý giá trị trung gian trong giải tích sơ cấp. Theo định lý, một hàm số liên tục cho hai giá trị m và n cũng cho bất kỳ giá trị nào nằm giữa m và n. Hàm số liên tục là hàm mà đồ thị của nó có thể được vẽ trên mặt phẳng tọa độ mà không cần nhấc bút lên.

+ Tính chất này có thể được chứng minh là đúng với hàm f(x) = b^x. Vì f có thể mang giá trị dương lớn hay nhỏ tùy ý, nên mỗi số y > 0 đều nằm giữa f(x₀) và f(x₁) với x₀ và x₁ thích hợp. Do đó, định lý giá trị trung gian đảm bảo rằng phương trình f(x) = y có một nghiệm. Hơn nữa, nghiệm này là duy nhất vì hàm số f là hàm số tăng nếu b > 1 và là hàm số giảm nếu 0 < b < 1. 

+ Nghiệm x đó chính là logarit cơ số b của y, log_by. Hàm số gán cho y giá trị logarit của nó được gọi là hàm số logarit. Hàm số logarit y = log_b x xác định trên tập hợp số thực dương, cho giá trị là một số thực bất kỳ, và là hàm số tăng duy nhất thỏa mãn f(b) = 1 và f(uv) = f(u) + f(v).

- Hàm ngược :

Công thức logarit của một lũy thừa cho thấy với một số x bất kỳ:

+ Lần lượt lấy lũy thừa bậc x của b rồi lấy logarit cơ số b, ta lại có được x. Ngược lại, với một số dương y bất kỳ, biểu thức cho thấy khi lấy logarit rồi lũy thừa, ta lại có được y. Như vậy, khi đồng thời thực hiện phép lũy thừa và logarit trong cùng một số, ta có được số ban đầu. Vì vậy, logarit cơ số b là hàm ngược của f(x) = b^x. 

+ Hàm ngược có liên hệ mật thiết với hàm số gốc của nó. Đồ thị của chúng đối xứng nhau qua đường thẳng x = y như hình bên phải: một điểm (t, u = b^t) trong đồ thị của f(x) tương ứng với điểm (u, t = log_bu) trong đồ thị của hàm logarit và ngược lại. Như vậy, log_b(x) phân kỳ lên vô hạn (lớn hơn bất kỳ số nào đã biết) nếu x tăng đến vô hạn, với b lớn hơn 1. Trong trường hợp này, log_b(x) là hàm số tăng. Khi b < 1 thì ngược lại, log_b(x) dần về âm vô hạn. Khi x dần về 0 thì giới hạn của log_bx là âm vô hạn với b > 1 và là dương vô hạn với b < 1.

3. Ứng dụng

- Logarit có nhiều ứng dụng cả trong lẫn ngoài toán học. Một vài trong số đó có liên quan đến khái niệm về tỉ lệ bất biến. Chẳng hạn, mỗi buồng trong vỏ ốc anh vũ đều gần giống với buồng liền sau, thu nhỏ lại bởi một hằng số tỉ lệ. Đó là một ví dụ về xoắn ốc logarit. Luật Benford về tần suất xuất hiện chữ số đầu tiên cũng có thể được giải thích qua tỉ lệ bất biến. Logarit cũng có liên hệ với tính chất tự đồng dạng.

- Chẳng hạn, logarit xuất hiện trong việc nghiên cứu các thuật toán giải bài toán bằng cách chia thành nhiều bài toán con tương tự rồi gộp các kết quả của chúng lại với nhau.Số chiều của các hình không gian tự đồng dạng, tức là những hình mà mỗi phần của nó đều giống như hình tổng thể, cũng dựa trên logarit. Thang đo logarit rất cần thiết để định lượng mức độ thay đổi tỉ đối của một đại lượng so với mức độ thay đổi tuyệt đối của nó. Hơn nữa, vì hàm số logarit log(x) tăng rất chậm khi x ngày càng lớn nên thang đo logarit được sử dụng để "nén" lại dữ liệu khoa học quy mô lớn. Logarit cũng xuất hiện trong nhiều phương trình khoa học như phương trình tên lửa Tsiolkovsky, phương trình Fenske hay phương trình Fernst.