Chứng minh căn 2 là số vô tỉ

Câu hỏi : Chứng minh căn 2 là số vô tỉ

Trả lời:

- Giả sử  √2 không phải là số vô tỉ. Khi đó tồn tại các số nguyên a và b sao cho √2 = a/b với b > 0. Hai số a và b không có ước chung nào khác 1 và -1.

Ta có: (√2)²  =  (a/b)² hay a² = 2b² (1)

Kết quả trên chứng tỏ a là số chẵn, nghĩa là ta có a = 2c với c là số nguyên.

Thay a = 2c vào (1) ta được: (2c)² = 2b² hay b²  = 2c²

Kết quả trên chứng tỏ b phải là số chẵn.

Hai số a và b đều là số chẵn, trái với giả thiết a và b không có ước chung nào khác 1 và -1.

Vậy  √2 là số vô tỉ.

Cùng Top lời giải tìm hiểu về số vô tỉ và căn bậc 2 nhé!

I. Số vô tỉ 

1. Số vô tỉ

a) Khái niệm

Số vô tỉ là các số viết được dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn.Số vô tỉ kí hiệu là I.
Các bạn cần ghi nhớ các số thực không phải là số hữu tỉ có  nghĩa là các bạn không thể biểu diễn được dưới dạng tỉ số như a/ b (trong đó a, b là các số nguyên).

b) Tính chất

Số vô tỉ: 0,1010010001000010000010000001…(đây là số thập phân vô hạn không tuần hoàn)

Số căn bậc 2:  √2   (căn 2)

Số pi (π): 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50 288….. 

II. Cách chứng minh một số là số vô tỉ

1. Phương pháp giải

Dùng phương pháp phản chứng.

Để chứng minh a là số vô tỉ, ta thực hiện qua các bước sau:

+ Bước 1: Giả sử a là số hữu tỉ.

+ Bước 2: Lập luận và sử dụng các tính chất đã biết về lũy thừa, chia hết,… để đi tới mẫu thuẫn với giả thiết hoặc đi tới điều vô lí.

+ Bước 3: Kết luận.

2. Ví dụ minh họa

a. Ví dụ 1: Chứng minh √2 là số vô tỉ.

Lời giải:

Giả sử  √2 là số hữu tỉ

Do đó tồn tại hai số nguyên a và b với b ≠ 0 sao cho a/b = √2

Như vậy  √2 có thể được viết dưới dạng phân số tối giản a/b với a và b là hai số nguyên tố cùng nhau.

Suy ra a² là số chính phương chẵn ⇒ a là số chẵn (số chính phương chẵn có căn bậc hai là số chẵn, số chính phương lẻ có căn bậc hai là số lẻ).

Do đó tồn tại 1 số k thỏa mãn a = 2k ⇒ a² = (2k)² = 4k²  (2)

Từ (1) và (2) ⇒ 2b² = 4k² ⇒ b² = 4k²:2 = 2k²

Suy ra b² là số chính phương chẵn nên b là số chẵn

Mà a cũng là số chẵn

Nên phân số a/b không phải phân số tối giản, mâu thuẫn

Vậy giả sử sai, do đó  √2 là số vô tỉ (đpcm).

b. Ví dụ 2: Chứng minh  √3 là số vô tỉ.

Lời giải:

Giả sử √3 là số hữu tỉ, tức  √3 = m/n (m, n ∈ Z, n ≠ 0, (m, n) = 1)

Suy ra 

Do đó m²⋮3, mà 3 là số nguyên tố nên m⋮3

⇒ m = 3k ⇒ m² = (3k)² = 9k², thay vào (1) ta được: 9k² = 3n²

⇒ n² = 3k², suy ra n² ⋮ 3 ⇒ n ⋮ 7 (vì 7 là số nguyên tố)

III. Căn bậc hai là gì?

1. Định nghĩa

Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x² = a

Số dương a có đúng hai căn bậc hai là √a ; - √a

Số 0 chỉ có một căn bậc hai là số √0  = 0

Tính chất

Với hai số dương bất kì a và b.

+) Nếu  a = b thì  = √a = √b ;

+) Nếu a < b thì   √a  < √b .

2. Tính chất và sử dụng

Hàm số căn bậc hai chính f(x)  √x(thường chỉ gọi là "hàm căn bậc hai") là một hàm số vạch ra tập hợp các số không âm. Căn bậc hai của x là số hữu tỉ khi và chỉ khi x là số hữu tỉ và có thể biểu diễn dưới dạng tỉ số căn bậc hai của hai số chính phương. Về phương diện hình học, đồ thị của hàm căn bậc hai xuất phát từ gốc tọa độ và có dạng một nửa parabol.

* Chú ý. Với a ≥ 0, ta có:

Nếu x = √a thì x ≥ 0 và x²  = a;

Nếu x ≥ 0 và x²  = a thì x = √a.

* Ta viết

x = √a <=> x ≥ 0 và x²  = a

So sánh các căn bậc hai số học

* Ta đã biết:

Với hai số a và b không âm, nếu a < b thì √a < √b. Ta có thể chứng minh được nếu √a < √b thì a < b.

Như vậy với hai số a và b không âm, ta có:

a < b <=> √a < √b.