Cách chứng minh hình thang cân nội tiếp đường tròn

Chứng minh hình thang cân nội tiếp đường tròn Bài học này sẽ hướng dẫn chi tiết cách chứng minh hình thang cân nội tiếp đường tròn, một khái niệm quan trọng trong hình học. Để giúp các em có thể nắm vững kiến thức về hình thang, hình thang cân. Hãy cùng thầy Phú Toploigiai khám phá và tìm hiểu những kiến thức bổ ích qua bài viết chi tiết dưới đây!

Chứng minh hình thang cân nội tiếp đường tròn

Chứng minh bằng tính chất đường chéo

- Xét hình thang ABCD nội tiếp đường tròn với AB và CD là hai cạnh đáy.

Chứng minh hai đường chéo AC và BD bằng nhau:

- Do ABCD nội tiếp đường tròn nên góc A và góc C đối diện nhau, có tổng bằng 180°.

- Góc B và góc D đối diện nhau, cũng có tổng bằng 180°.

- Sử dụng tính chất đường chéo của tứ giác nội tiếp đường tròn, ta có AC = BD.

Chứng minh hai góc kề cạnh đáy bằng nhau:

- Góc A và góc B có tổng bằng 180° (tính chất tứ giác nội tiếp).

- Góc D và góc C cũng có tổng bằng 180°.

- Do đó, hai góc kề cạnh đáy bằng nhau, từ đó chứng minh ABCD là hình thang cân.Chứng minh bằng tính chất đối xứng

Chứng minh bằng tính chất đối xứng của đường tròn:

Hai cạnh bên của hình thang cân nội tiếp đường tròn sẽ đối xứng qua trục đối xứng của hình thang.

- Do sự đối xứng này, hai góc kề cạnh đáy sẽ bằng nhau.

- Chứng minh bằng tính chất đường chéo

- Xét hình thang ABCD nội tiếp đường tròn với AB và CD là hai cạnh đáy.

Bài tập hình thang cân

Bài 1. Cho tam giác ABC cân tại A có BD và CE là hai đường trung tuyến của tam giác. Chứng minh BCDE là hình thang cân.

Lời giải:

Vì BD là đường trung tuyến của tam giác ABC nên D là trung điểm của AC.

Vì CE là đườg trung tuyến của tam giác ABC nên E là trung điểm của AB

Mà AB = AC (do tam gác ABC cân tại A)

Do đó: AD = AE

Xét tam giác AED có

AD = AE ( chứng minh trên)

Do đó: cân tại A

Ta có:

 (tổng ba góc trong một tam giác)

 (do tam giác AED cân tại A nên)

Lại có: cân tại A nên:

 (tổng ba góc trong một tam giác)

Từ (1) và (2) => Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên ED //BC

=> Tứ giác BCDE là hình thang

Mặt khác: cân tại  A nên 

Vậy hình thang BCDE là hình thang cân (do có hai góc kề một đáy bằng nhau).

Bài 2: Cho hình thang cân ABCD có  AB // CD, AB < CD. Gọi G là giao điểm của AD và BC. Gọi F là giao điểm của AC và BD. Chứng minh:

a) Tam giác AGB cân tại G;

b) Các tam giác ABD và BAC bằng nhau;

c) FC = FD.

Lời giải:

a) Vì AB // CD nên ta có:

 (hai góc đồng vị)

 (hai góc đồng vị)

Mà 

 (do ABCD là hình thang cân)

Do đó: 

Xét tam giác AGB có:

Nên tam giác AGB là tam giác cân tại G.

b) Xét hai tam giác ABD và BAC có:

AB chung

AD = BC (do ABCD là hình thang cân)

AC = BD (do ABCD là hình thang cân)

Do đó: ΔABD = ΔBAC (c – c – c)

c) Ta có:

Mà 

 (ABCD là hình thang cân)

Do đó: 

Xét tam giác FCD có:

Suy ra tam giác FCD cân tại F

 FC = FD (điều phải chứng minh)

Bài tập 3

Cho hình thang cân ABCD với đáy nhỏ AB bằng cạnh bên AD. Chứng minh rằng AC là tia phân giác của góc C.

Lời giải: Sử dụng tính chất của tam giác cân và tính chất của hình thang nội tiếp đường tròn để chứng minh.

Bài tập 4

Cho hình thang cân ABCD có AB // CD, AB < CD. Gọi G là giao điểm của AD và BC. Gọi F là giao điểm của AC và BD. Chứng minh:

Tam giác AGB cân tại G;

Các tam giác ABD và BAC bằng nhau;

FC = FD.

Lời giải: Sử dụng các tính chất của hình thang cân và tam giác cân để chứng minh các kết quả trên.

Tham khảo thêm: Dấu hiệu nhận biết hình thang cân

Tham khảo thêm: Hướng dẫn chứng minh hình thang và hình thang cân