Bài: Một vài áp dụng của toán học trong tài chính

Hướng dẫn Giải Toán 11 Kết nối tri thức Bài: Một vài áp dụng của toán học trong tài chính ngắn gọn kèm lời giải và đáp án chi tiết bám sát nội dung chương trình Sách mới.

Giải Toán 11 trang 126

Hoạt động 1: Số tiền của một niên kim

Bác Lan gửi đều đặn 10 triệu đồng vào ngày đầu mỗi tháng trong vòng 5 năm vào một tài khoản tích lũy hưởng lãi

suất 6% mỗi năm, theo hình thức tính lãi kép hằng tháng

a) Tính số tiền có trong tài khoản vào cuối kì thứ nhất, cuối kì thứ hai

b) Tính số tiền có trong tài khoản vào cuối kì thứ n

c) Tính số tiền có trong tài khoản ngay sau lần thanh toán cuối cùng.

Lời giải:

a) Đổi: 5 năm = 60 tháng

Lãi suất 6% mỗi năm tức là lãi suất mỗi tháng là 0,5%

Số tiền có trong tài khoản vào cuối kì thứ nhất là

A1 = 10 + 10. 0,5% 

     = 10.(1 + 0,5%) 

     = 10,05 (triệu đồng).

Số tiền có trong tài khoản vào cuối kì thứ hai là

A2 = [10.(1 + 0,5%) + 10] + [10.(1 + 0,5%) + 10].0,5%

     = [10.(1 + 0,5%) + 10](1 + 0,5%) 

     = 10.(1 + 0,5%)² + 10.(1 + 0,5%)

     = 20,15025 (triệu đồng).

b) Số tiền có trong tài khoản vào cuối kì thứ n: 

A_n = 10.(1 + 0,5%)ⁿ + 10.(1 + 0,5%)^{n – 1} + ... + 10.(1 + 0,5%)

     = 10.(1 + 0,5%ⁿ − 1)/0,5%

c)  Số tiền có trong tài khoản ngay sau lần thanh toán cuối cùng:

A = 10.(1 + 0,5%ⁿ − 1)/0,5%

   ≈ 697,7 (triệu đồng).

Vận dụng 1: Anh Bình cần đầu tư bao nhiêu tiền hằng tháng với lãi suất 6% mỗi năm, theo hình thức lãi kép hằng

tháng, để có 200 triệu đồng sau hai năm?

Lời giải:

Đổi: 2 năm = 24 tháng

Lãi suất 6% mỗi năm tức là lãi suất mỗi tháng là i = 0,5%

Gọi số tiền anh Bình cần đầu tư hằng tháng là R (triệu đồng) 

Theo bài ra ta có: A_f = 200 (triệu đồng).

Từ công thức A_f = R . (1 + i)ⁿ − 1 / i

=>   R = Af.i / (1 + i)ⁿ − 1

           = 200.0,5% / (1 + 0,5%)²⁴ − 1 = 7,864 (triệu đồng).

Vậy mỗi tháng cần đầu tư 7.864 triệu đồng thì anh Bình sẽ có 200 triệu đồng sau hai năm

Hoạt động 2: Nhận biết giá trị hiện tại của một số tiền

Giả sử một người gửi tiết kiệm với lãi suất không đổi 6% một năm, theo hình thức tính lãi kép hằng quý

a) Tính lãi suất i trong mỗi quý và số khoảng thời gian tính lãi trong vòng 5 năm

b) Giả sử sau 5 năm người đó nhận được số tiền 100 triệu đồng cả vốn lẫn lãi. Tính giá trị hiện tại của số tiền 100

triệu đồng đó.

Lời giải:

a) Lãi suất mỗi quý : i = 6% / 4 =1.5%

Số khoảng thời gian tính lãi trong vòng 5 năm là 5 . 4 = 20 

b) Giá trị hiện tại của số tiền 100 triệu đồng cả vốn lẫn lãi:

 Ap = 100 . (1 + 1,5%)^-20 

      ≈ 74,25 (triệu đồng)

Giải Toán 11 trang 127

Vận dụng 2: Một người trúng xổ số giải đặc biệt với trị giá 5 tỉ đồng và số tiền trúng thưởng sẽ được trả dần vào

hằng năm, mỗi năm 500 triệu đồng trong vòng 10 năm. Giá trị hiện tại của giải đặc biệt này là bao nhiêu? Giả sử

rằng người đó có thể tìm được hình thức đầu tư với lãi suất 8% mỗi năm, tính lãi kép hằng năm.

Lời giải:

Mỗi năm thanh toán 500 triệu đồng trong vòng 10 năm ta có:

Khoản thanh toán: R = 500 (triệu đồng)

Số năm thanh toán: n = 10 (năm).

Lãi suất 8% mỗi : i = 8%.

Giá trị hiện tại của giải đặc biệt này là:

A_p = R.1−(1 + i) ^{− n}/ i

     = 500. 1−(1 + 0,08)⁻¹⁰/0,08

     ≈ 3 355,0407 (triệu đồng).

Lãi kép là: 5 000 – 3 355,0407 = 1 644,9593 (triệu đồng).

Hoạt động 3: Anh Hưng muốn mua một chiếc xe ô tô theo hình thức trả góp để xe chạy xe dịch vụ. Anh ấy có thể

trả dần 10 triệu đồng mỗi tháng nhưng không có tiền trả trước. Nếu anh Hưng có thể thực hiện các khoản thanh

toán này trong vòng 5 năm và lãi suất là 10% một năm, thì hiện tại anh ấy có thể mua được chiếc xe ô tô với mức

giá nào?

Lời giải:

Đổi: 5 năm = 60 tháng => n = 60.

Lãi suất hằng tháng: i = 10% /12 =  /6%.

Số tiền trả dần mỗi tháng là R = 10 (triệu đồng).

Hiện tại anh Hưng có thể mua được chiếc xe ô tô với mức giá:

A_p = R . 1 − (1 + i)⁻ⁿ /i 

     = 10.1 − (1 + 5/6%)⁻⁶⁰ / 56%

     ≈ 470,65(triệu đồng).

Vậy hiện tại anh Hưng có thể mua được chiếc xe ô tô với giá khoảng 470,65 triệu đồng.

Vận dụng 3: Một cặp vợ chồng trẻ vay ngân hàng 1 tỉ đồng với lãi suất 9% một năm để mua nhà. Họ dự định sẽ

trả góp hằng tháng trong vòng 10 năm để hoàn trả khoản vay này. Hỏi mỗi tháng họ sẽ trả cho ngân hàng bao

nhiêu tiền?

Lời giải:

Đổi: 10 năm = 120 tháng => n = 120.

Lãi suất hằng tháng là i = 0,75%.

Số tiền vay là A_p = 1 tỉ đồng = 1 000 triệu đồng.

Mỗi tháng họ sẽ phải trả cho ngân hàng số tiền là:

R = iA_p / 1−(1 + i)⁻ⁿ

   = 0,75%.1000 / 1−(1+0,75%)⁻¹²⁰

   ≈ 12,67 (triệu đồng).

Vậy họ phải trả cho ngân hàng khoảng 12,67 triệu đồng mỗi tháng