Bài 7: Cấp số nhân

Hướng dẫn Giải Toán 11 Kết nối tri thức Bài 7: Cấp số nhân ngắn gọn kèm lời giải và đáp án chi tiết bám sát nội

dung chương trình Sách mới.

Giải Toán 11 trang 52

Hoạt động 1:  Nhận biết cấp số nhân

Cho dãy số (u_n) với u_n = 3.2ⁿ

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số này

b) Dự đoán hệ thức truy hồi liên hệ giữa u_n và u_n−1

Lời giải:

a) u₁ = 6

    u₂ = 12

   u₃ = 24

   u₄ = 48

   u₅ = 96

b) Dự đoán hệ thức truy hồi liên hệ giữa u_n và u_n−1

                     u_n = u_n−1.q với n ≥ 2.

Câu hỏi: Dãy số không đổi a, a, a, ... có phải là một cấp số nhân không?

Lời giải: 

Ta thấy tỉ số của các số hạng là a/a = 1,∀ n ≥ 2.

Như vậy, dãy số không đổi a,a, a,... là một cấp số nhân.

Giải Toán 11 trang 53

Luyện tập 1: Cho dãy số (u_n) với u_n = 2.5ⁿ. Chứng minh rằng dãy số này là một cấp số nhân. Xác định số hạng

đầu và công bội của nó.

Lời giải:

u_n/u_n−1 = 2.5ⁿ /2.5ⁿ⁻¹

                = 5¹ = 5 ∀ x ≥ 2 

=>   u_n = 5u_n−1

Vậy (u_n) là một cấp số nhân với u₁ = 10 và công bội q = 5

Hoạt động 2: Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân

Cho cấp số nhân (u_n) với số hạng đầu u₁ và công bội q

a) Tính các số hạng u₂, u₃, u₄, u₅ theo u₁ và q

b) Dự đoán công thức tính số hạng thứ n theo u₁ và q

Lời giải:

a) u₂ = u₁q;

    u₃ = u₂q;

    u₄ = u₃q;

    u₅ = u₄q

b) u_n = u₁.qⁿ⁻¹

Giải Toán 11 trang 54

Luyện tập 2: Trong một lọ nuôi cấy vi khuẩn, ban đầu có 5000 con vi khuẩn và số lượng vi khuẩn tăng lên thêm

8% mỗi giờ. Hỏi sau 5 giờ thì số lượng vi khuẩn là bao nhiêu?

Lời giải:

Số lượng vi khuẩn sau mỗi giờ tạo thành cấp số nhân với u₁ = 5000, q = 1,08.

Suy ra công thức số hạng tổng quát: u_n = 5000.1,08^n−1.

Vậy sau 5 giờ thì số lượng vi khuẩn là: u₅ = 5000.1,08⁵⁻¹ = 6802,44.

Hoạt động 3:  Xây dựng công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân

Cho cấp số nhân (u_n) với số hạng đầu u₁ = a và công bội q ≠ 1

Để tính tổng của n số hạng đầu

S_n = u₁ + u₂+...+ u_n−1 + u_n

thực hiện lần lượt các yêu cầu sau

a) Biểu diễn mỗi số hạng trong tổng trên theo u₁ và q để biểu thức tính tổng S_n chỉ chứa u₁ và q

b) Từ kết quả phần a, nhân cả hai vế với q để được biểu thức tính tích q.Sn chỉ chứa u₁ và q

c) Trừ từng vế hai đẳng thức nhận được ở a và b và giản ước các số hạng đồng dạng để tính (1 − q)S_n theo u₁ và

q. Từ đó suy ra công thức S_n

Lời giải:

a) Ta có: u₂ = u₁.q

            u_n−1 = u₁.q^(n−1)−1        

                   = u_1.qⁿ⁻²;

              u_n = u₁.quⁿ⁻¹

=> S_n = u₁ + u₂ +...+ u_n−1 + u_n

          = u₁ + u₁.q +... + u₁.qⁿ⁻² + u₁.qⁿ⁻¹ (1)

b)  q.S_n = q(u₁ + u₁.q +...+ u_1.qⁿ⁻² + u₁.qⁿ⁻¹)

             = qu₁ + u₁q² +...+ u₁qⁿ⁻¹ + u₁qⁿ (2)

c) S_n − qS_n = (u₁ + u₁q +...+ u₁qⁿ⁻² + u₁qⁿ⁻¹) − (qu₁ + u₁q² +...+ u₁qⁿ⁻¹ + u₁qⁿ)

    (1 − q)S_n = u₁ − u₁qⁿ

S_n = u₁(1−qⁿ)/1−q

Câu hỏi: Nếu cấp số nhân có công bội q = 1 thì tổng n số hạng đầu Sn của nó bằng bao nhiêu

Lời giải: 

Dãy cấp số nhân có công bội q = 1 chính là dãy số không đổi. Gọi số hạng của dãy là a

Tổng n số hạng đầu S_n = an

Giải Toán 11 trang 55

Vận dụng: Một nhà máy tuyển thêm công nhân vào làm việc trong thời hạn ba năm và đưa ra hai phương án lựa chọn về lương như sau:

- Phương án 1: Lương tháng khởi điểm là 5 triệu đồng và sau mỗi quý, lương tháng sẽ tăng thêm 500 nghìn đồng.

- Phương án 2: Lương tháng khởi điểm là 5 triệu đồng và sau mỗi quý, lương tháng tăng thêm 5%

Với phương án nào thì tổng lương nhận được sau ba năm làm việc của người nông dân sẽ lớn hơn?

Lời giải:

Phương án 1, tiền lương mỗi quý sẽ tạo thành cấp số nhân với u₁ = 5.3 = 15, công sai d = 0,5.3 = ,5

Công thức tổng quát là: u_n = 15 + 1,5(n − 1)

Sau 3 năm làm việc lương của người nông dân là: 12/2[2.15 + (12 − 1).1,5] = 279 (triệu đồng)

Phương án 2, tiền lương mỗi quý sẽ tạo thành cấp số nhân với u₁ = 5.3 = 15, công bội q = 1,05

Công thức tổng quát là: u_n = 15.1,05ⁿ⁻¹

Sau 3 năm làm việc lương của người nông dân là: 15(1 − 1.05¹²)/1 − 1.05 = 238.76 (triệu đồng)

Vậy theo phương án 1 thì tổng lương nhận được của người nông dân là cao hơn.