Bài 6: Cấp số cộng

Hướng dẫn Giải Toán 11 Kết nối tri thức Bài 6: Cấp số cộng ngắn gọn kèm lời giải và đáp án chi tiết bám sát nội

dung chương trình Sách mới.

Giải Toán 11 trang 48

Hoạt động 1:  Nhận biết cấp số cộng

Cho dãy số (u_n) gồm tất cả các số tự nhiên lẻ, xếp theo thứ tự tăng dần.

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.

b) Dự đoán công thức biểu diễn số hạng u_n theo số hạng u_n−1

Lời giải:

a) Năm số hạng đầu tiên của dãy số: 1; 3; 5; 7; 9

b) Dự đoán công thức biểu diễn số hạng u_n theo số hạng u_n−1 là u_n = u_n−1 + 2 (n ≥ 2)

Giải Toán 11 trang 49

Luyện tập 1: Cho dãy số (u_n) với u_n = − 2n + 3. Chứng minh rằng (u_n) là một cấp số cộng. Xác định số hạng đầu

và công sai của cấp số cộng này.

Lời giải:

Ta có: u_n − u_n−1 = (− 2n + 3) − [ − 2(n − 1) + 3] = − 2, ∀ n ≥ 2

Vậy (u_n) là cấp số cộng có số hạng đầu là u₁ = 1 và công sai bằng d = − 2

Hoạt động 2: Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng

Cho cấp số cộng (u_n) với số hạng đầu u₁ và công sai d

a) Tính các số hạng u₂, u₃, u₄, u₅ theo u₁ và d

b) Dự đoán công thức tính số hạng tổng quát u_n theo u₁ và d

Lời giải:

a) Các số hạng u₂, u₃, u₄, u₅ theo u₁ và d

    u₂ = u₁ + d

    u₃ = u₂ + d = u₁ + 2d

    u₄ = u₃ + d = u₁ + 3d

    u₅ = u₄ + d = u₁ + 4d

b) Dự đoán công thức tính số hạng tổng quát (u_n) theo u₁ và d là: un=u1+(n−1)d

Luyện tập 2: Cho dãy số (u_n) với u_n = 4n − 3. Chứng minh rằng (u_n) là một cấp số cộng. Xác định số hạng đầu u₁

và công sai d của cấp số cộng này. Từ đó viết số hạng tổng quát u_n dưới dạng u_n = u₁ + (n + 1)d

Lời giải:

Ta có: u_n − u_n−1 = (4n − 3) − [4(n − 1) − 3] = 4, ∀ n ≥ 2

Do đó (u_n) là cấp số cộng có số hạng đầu là u₁ = 1 và công sai bằng d = 4

Số hạng tổng quát: u_n = 1 + 4(n − 1)

Giải Toán 11 trang 50

Hoạt động 3: Xây dựng công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng

Cho cấp số cộng (u_n) với số hạng đầu u₁ và công sai d

Để tính tổng của n số hạng đầu

S_n = u₁ + u₂ + ... + u_n − 1 + u_n

hãy lần lượt thực hiện các yêu cầu sau:

a) Biểu diễn mỗi số hạng trong tổng S_n theo số hạng đầu u₁ và công sai d

b) Viết S_n theo thứ tự ngược lại: S_n = u_n + u_{n − 1} + ... + u₂ + u₁ và sử dụng kết quả ở phần a) để biểu diễn mỗi số

hạng trong tổng này theo u₁ và d

c) Cộng từng vế hai đẳng thức nhận được ở a), b), để tính S_n theo u₁ và d

Lời giải:

a) Ta có: u₂ = u₁ + d; u₃ = u₁ + 2d

             u_n−1 = u₁ + (n − 2)d 

                un = u₁ + (n − 1)d

S_n = u₁ + u₂ + ... + u_n − 1 + u_n

     = u₁ + ( u₁ + d) +...+ u₁ + (n − 1)d + u₁ + (n − 1)d

b) S_n = u_n + u_{n − 1} +...+ u₂ + u₁

         = u₁ + (n − 1)d + u₁ + (n − 2)d + ... + (u₁ + d) + u₁

c) Ta có:

 S_n + S_n = [u₁ + (u₁ + d)+... + u₁ + (n − 2)d + u₁ + (n − 1)d] + [u₁ + (n − 1)d] + [u₁ + (n − 2)d] +...+(u₁ + d) + u₁]

<=> 2S_n = [u₁ + u₁ + (n − 1)d + (u₁ + d) + u₁ + (n − 2)d] +...+ [u₁ + (n − 2)d + (u₁ + d) + [u₁ + (n − 1)d] + u1]

<=> 2S_n = [2u₁ + (n − 1)d + 2u₁ +  (n − 1)d] +...+ [2u₁ + (n − 1)d + 2u₁ + (n − 1)d]

<=> 2S_n = n.[2u₁ + (n − 1)d]

<=> S_n = n/2.[2u₁ + (n − 1)]

Vận dụng: Anh Nam được nhận vào làm việc ở một công ty về công nghệ với mức lương khởi điểm là 100 triệu

đồng một năm. Công ty sẽ tăng lương cho anh Nam mỗi năm là 20 triệu đồng. Tính tổng số tiền lương mà anh

Nam nhận được sau 10 năm làm việc cho công ty đó.

Lời giải:

Số tiền lương anh Nam nhận được sau 10 năm lập thành cấp số cộng với:

Số hạng đầu u₁ = 100 và công sai d = 20.

Tổng lương anh Nam nhận được sau 10 năm làm việc cho công ty đó là:

S₁₀ = u₁ + u₂ +...+ u₁₀

         = 10/2.[2u₁ + (10 − 1)20]

        = 10/2.(2.100 + 9.20)

        = 1900  (triệu đồng)