Bài 3.12 trang 56 SGK Toán 8 Tập 1 Kết nối tri thức

Luyện tập chung trang 56

Bài 3.12 trang 56 SGK Toán 8 Tập 1 Kết nối tri thức: Cho M là một điểm nằm trong tam giác đều ABC. Qua M kẻ các đường thẳng song song với BC, CA, AB lần lượt cắt AB, BC, CA tại các điểm P, Q, R

a) Chứng minh tứ giác APMR là hình thang cân

b) Chứng minh rằng chu vi tam giác PQR bằng tổng độ dài MA + MB + MC

c) Hỏi với vị trí nào của M thì tam giác PQR là tam giác đều?

Lời giải:

a) Vì tam giác ABC đều => góc BAC = góc ABC = góc ACB=60°.

 PM // BC => góc APM = góc ABC = 60°(đồng vị).

Suy ra góc APM = góc PAR (cùng bằng 60°).

Tứ giác APMR là hình thang (vì MR // AP) có góc APM= góc PAR.

Suy ra tứ giác APMR là hình thang cân.

b) AM = PR (Vì tứ giác APMR là hình thang cân) (1)

 Ta có các tứ giác BPMQ và MQCR là hình thang cân.

Suy ra BM = PQ và MC = QR (2)

Từ (1)và (2) suy ra PR + PQ + QR = MA + MB + MC.

Mà PR + PQ + QR chính là chu vi của tam giác PQR.

Do đó chu vi tam giác PQR bằng tổng độ dài MA + MB + MC (đpcm).

c) Để tam giác PQR là tam giác đều thì PR = PQ = QRsuy ra MA = MB = MC

Khi đó điểm M cách đều ba đỉnh A, B, C của tam giác ABC.

Do đó M là giao điểm của ba đường trung trực (đồng thời M cũng là giao điểm của ba đường trung tuyến, ba đường cao, đường phân giác).

Vậy khi M là giao điểm của ba đường trung trực thì tam giác PQR là tam giác đều

* Kiến thức vận dụng giải bài tập:

a) Chứng minh: Tứ giác APMR là hình thang có góc ABC = góc APM nên tứ giác APMR là hình thang cân.

b) Chứng minh: AM = PR ; BM = PQ; MC = PQ nên PR + BM + QR = MA + MB + MC.

c) Vì điểm M cách đều ba đỉnh A, B, C của tam giác ABC do đó M là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC.