Bài 15: Giới hạn của dãy số

Hướng dẫn Giải Toán 11 Kết nối tri thức Bài 15: Giới hạn của dãy số ngắn gọn kèm lời giải và đáp án chi tiết bám sát nội dung chương trình Sách mới.

Giải Toán 11 trang 105

Hoạt động 1: Nhận biết dãy số có giới hạn là 0

Cho dãy số (u_n) với u_n = (−1)ⁿ/ n

a) Biểu diễn năm số hạng đầu của dãy số này trên trục số

b) Bắt đầu từ số hạng nào của dãy, khoảng cách từ u_n đến 0 nhỏ hơn 0.01?

Lời giải:

a) u₁ = −1;   u₂ = 12;    u₃ = −13;   u₄ = 14;   u₅ = −15

b) u₁₀₀ = 0.01 vậy bắt đầu từ số hạng thứ 101 khoảng cách từ số hạng u_n đến 0 nhỏ hơn 0.01

Luyện tập 1: Chứng minh rằng:

Lời giải:

 Ta có: |u_n| = (−1)ⁿ⁻¹/3ⁿ có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý khi n đủ lớn nên dãy số (u_n) có giới hạn là 0 khi n

dần tới dương vô cực

Ví dụ: |u_n| < 1,69.10⁻⁵ ta cần n > 10.

=> Các số hạng của dãy kể từ số hạng thứ 11 đều có giá trị nhỏ hơn 1,69.10⁻⁵

Hoạt động 2: Nhận biết dãy số có giới hạn hữu hạn

Lời giải:

Vậy:

Giải Toán 11 trang 106

Luyện tập 2:

Lời giải:

Vậy:

Vận dụng 1:  Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 5 m xuống một mặt sàn. Sau mỗi lần chạm sàn, quả bóng

nảy lên độ cao bằng 2/3 độ cao trước đó. Giả sử rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt sàn và quá

trình này tiếp diễn vô hạn lần. Giả sử u_n là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng sau lần nảy lên thứ n. Chứng

minh rằng dãy số (u_n) có giới hạn là 0.

Lời giải:

Độ cao của quả bóng sau mỗi lần chạm sàn tạo thành cấp số nhân có số hạng tổng quát là: 

u_n = 5 .(2/3)ⁿ

Ta có:

Nên:

Vậy:

Hoạt động 3: Hình thành quy tắc tính giới hạn

Lời giải:

Do đó:

So sánh:

Giải Toán 11 trang 107

Luyện tập 3: Tìm:

Lời giải:

Ta có:

Vậy: 

Hoạt động 4: Làm quen với việc tính tổng vô hạn

Cho hình vuông cạnh 1 (đơn vị độ dài). Chia hình vuông đó thành bốn hình vuông nhỏ bằng nhau, sau đó tô màu

hình vuông nhỏ góc dưới bên trái (H.5.2). Lặp lại các thao tác này với hình vuông nhỏ góc trên bên phải. Giả sử

quá trình trên tiếp diễn vô hạn lần. Gọi u₁, u₂,..., u_n,... lần lượt là độ dài cạnh của các hình vuông được tô màu.

a) Tính tổng S_n = u₁ + u₂ +...+ u_n

Lời giải:

Dạng tổng quát của dãy số (u_n):

a) Tổng S_n

b) Tính S:

Giải Toán 11 trang 108

Luyện tập 4: Tính tổng S = 2 + /7 + 2/49 +...+ 2/7ⁿ⁻¹+...

Lời giải:

Tính tổng S:

Vậy S = 7/3

Vận dụng 2:  (Giải thích nghịch lí Zeno)

Để đơn giản, ta giả sử Achiles chạy với vận tốc 100 km/h, vận tốc của rùa là 1 km/h và khoảng cách ban đầu a = 100 (km)

a) Tính thời gian t₁,t₂,...,t_n,... tương ứng để Achiles đi từ A₁ đến A₂, từ A₂ đến A₃, ..., từ A_n đến A_n+1,...

b) Tính tổng thời gian cần thiết để Achiles chạy hết các quãng đường A₁A₂, A₂A₃,...,A_nA_n+1,..., tức là thời gian

cần thiết để Achiles đuổi kip rùa.

c) Sai lầm trong lập luận của Zeno ở đâu

Lời giải:

Giả sử Achiles chạy với vận tốc 100 km/h, vận tốc của rùa là 1 km/h và khoảng cách ban đầu a = 100 (km)

a)

Thời gian Achilles để chạy hết quãng đường đi từ A₁ đến A₂ là a = 100 (km) là t₁ = 100/100 = 1 (h) và rùa đã chạy

được quãng đường A₂A₃ = 1 (km).

Thời gian Achilles chạy hết quãng đường từ A2 đến A3 với A₂A₃ = 1 (km) là  t₂ = 1/100 (h) và  rùa đã chạy được

quãng đường A₃A₄ = 1/100 (km).

Thời gian Achilles chạy hết quãng đường từ A_n đến A_n+1 với A_nA_n+1 = 1/100^{n − 2} (km) là t_n = 1/100ⁿ⁻¹(h)

b) Tổng thời gian cần thiết để Achilles chạy hết các quãng đường A₁A₂,A₂A₃,...,A_nA_n+1,..., tức là thời gian cần

thiết để Achilles đuổi kịp rùa là:

T = 1 + 1/100 + 1/100² +...+ 1/100ⁿ⁻¹ + 1/100ⁿ +... (h)

Đó là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với u₁ = 1, công bội 

Ta có: T = u₁/1 − q 

              = 1/(1 − 1/100) 

              = 100/99 

              =1 + 1/99 (h)

Như vậy, Achilles đuổi kịp rùa sau 1 + 1/99 giờ.

c) Nghịch lý Zeno chỉ đúng với điều kiện là tổng thời gian Achilles chạy hết các quãng đường để đuổi kịp rùa phải

là vô hạn, còn nếu nó hữu hạn thì đó chính là khoảng thời gian mà anh bắt kịp được rùa.

Hoạt động 5: Nhận biết giới hạn vô cực

Một loại vi khuẩn được nuôi cấy với số lượng ban đầu là 50. Sau mỗi chu kì 4 giờ, số lượng của chúng sẽ tăng gấp đôi.

a) Dự đoán công thức tính số vi khuẩn u_n sau chu kì thứ n

b) Sau bao lâu, số lượng vi khuẩn sẽ vượt con số 10000? 

Lời giải:

a) Dự đoán công thức tính số vi khuẩn u_n sau chu kì thứ n: 

Ta có số lượng ban đầu của vi khuẩn là u₀ = 50.

Sau chu kì thứ nhất, số lượng vi khuẩn là u₁ = 2u₀ = 2 . 50.

Sau chu kì thứ hai, số lượng vi khuẩn là u₂ = 2u₁ = 2 . 2 . 50 = 2².50

Công thức tính số vi khuẩn u_n sau chu kì thứ n: u_n = 2ⁿ.50

b) Giả sử sau chu kỳ m số lượng vi khuẩn sẽ vượt qua con số 10000: 

Ta có: u_m = 2^m.50 > 10000

            <=>  2^m > 200.

Vậy khi  2^m > 200 thì số lượng vi khuẩn sẽ vượt qua con số 10000.

Giải Toán 11 trang 109

Luyện tập 5: Tìm:

Lời giải:

Ta có:

Vậy nên:

Mà ta lại có:

Do đó: