Bài 13: Hai mặt phẳng song song

Hướng dẫn Giải Toán 11 Kết nối tri thức Bài 13: Hai mặt phẳng song song ngắn gọn kèm lời giải và đáp án chi tiết bám sát nội dung chương trình Sách mới.

Giải Toán 11 trang 88

Hoạt động 1: Các mặt bậc thang trong Hình 4.40 gợi nên hình ảnh về các mặt phẳng không có điểm chung. Hãy

tìm thêm một số ví dụ khác cũng gợi nên hình ảnh đó

Lời giải:

Ruộng bậc thang

Mặt tòa nhà cao tầng

Câu hỏi: Trong hình ảnh mở đầu, các nhát cắt có nằm trong các mặt phẳng song song hay không?

Lời giải:

Các nhát cắt nằm trong các mặt phẳng song song với nhau

Giải Toán 11 trang 89

Hoạt động 2: Cho mặt phẳng (α) chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và a, b cùng song song với mặt phẳng (β) (H.4.41)

Nếu (α) và (β) cắt nhau theo giao tuyến c thì hai đường thẳng a và c có song song với nhau hay không, hai đường

thẳng b và c có song song với nhau hay không?

Hãy rút ra kết luận sau khi trả lời các câu hỏi trên.

Lời giải:

Nếu (α) và (β) cắt nhau theo giao tuyến c:

Do a song song với mặt phẳng (β) và a nằm trong mặt phẳng (α) nên (α) và (β) cắt nhau theo giao tuyến c song

song với a. 

Tương tự, ta thấy c song song với b.

 Kết luận: Nếu mặt phẳng (α) chứa hai đường thẳng cắt nhau và hai đường thẳng này song song với mặt phẳng

(β) thì (α) và (β)song song với nhau.

Câu hỏi:  Nếu không có điều kiện "hai đường thẳng cắt nhau" thì khẳng định trên còn đúng không?

Lời giải:

Giả sử hai đường thẳng a và b trùng nhau thì khi đó có thể xảy ra trường hợp hai mặt phẳng (α) và (β) cắt nhau

theo giao tuyến c song song với hai đường thẳng trùng nhau trên, do đó (α) và (β) không song song với nhau.

 Do vậy, nếu không có điều kiện “hai đường thẳng cắt nhau” thì khẳng định trên không đúng.

Luyện tập 1:  Trong không gian cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Qua điểm A vẽ hai đường thẳng m, n

lần lượt song song với hai đường thẳng BC, BD. Chứng minh rằng mp(m,n) song song với mặt phẳng (BCD).

Lời giải:

m // BC => m // (BCD).

n // BD  => n // (BCD).

Mặt phẳng (m, n) chứa hai đường thẳng cắt nhau m và n cùng song song với mặt phẳng (BCD) nên mp (m, n)

song song với mặt phẳng (BCD).

Vận dụng 1: Một chiếc bàn có phần chân là hai khung sắt hình chữ nhật có thể xoay quanh một trục như trong

Hình 4.43. Khi mặt bàn được đặt lên phần chân bàn thì mặt bàn luôn song song với mặt đất. Hãy giải thích tại 

sao?

Lời giải:

Do mặt bàn và mặt đất không có điểm chung nên chúng song song với nhau.

Hoạt động 3:  Đặt một bìa cứng lên một góc của mặt bàn nằm ngang (H.4.44) sao cho mặt bìa song song với mặt

đất. Khi đó mặt bìa có trùng với mặt bàn không?

Lời giải:

Mặt bàn nằm ngang thì song song với mặt đất.

Khi tấm bìa cứng được đặt lên một góc của mặt bàn nằm ngang sao cho mặt bìa song song với mặt bàn thì mặt

bìa trùng với mặt bàn.

Câu hỏi: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì hai mặt phẳng đó có song song

với nhau hay không? Vì sao?

Lời giải:

Giả sử: mp(α) // mp(β), mp(β) // mp(γ)

- Trên mp(α) ta có hai đường thẳng cắt nhau a1 và b1. 

 mp(α) // mp(β) => a1 // (β); b1// (β).

- Trên mp(β), kẻ a2 // a1, b2 // b1. 

Vì a1 và b1 cắt nhau => a2 và b2 cũng cắt nhau, mp(β) // mp(γ) => a2 // (γ), b2//(γ)

- Trên mp (γ), kẻ a3 // a2, b3 // b2.

a2 và b2 cắt nhau => a3 và b3 cắt nhau

Ta có: a3 // a1 (vì cùng // a2)=> a3//(α)

b3 // b1 (vì cùng // b2) => b3//(α)

Vậy: mp(γ)//mp(α)

 Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì hai mặt phẳng đó song song với nhau

Giải Toán 11 trang 90

Luyện tập 2: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là các điểm thuộc các cạnh SA, SB, SC, SD sao cho MA/MS = NB/NS = PC/PS = QD/QS = 1/2. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, P, Q đồng phẳng.

Lời giải:

Xét tam giác SAD có: MA/MS = QD/QS 

=> MQ // AD => MQ // (ABCD)

Tương tự ta có: QP // (ABCD)

Vậy mp(MPQ) // mp(ABCD)

 Tương tự, ta có mp(NPQ) // (ABCD)

Hai mặt phẳng (MPQ) và (NPQ) cùng đi qua điểm P và cùng // mp(ABCD) nên hai mặt phẳng đó trùng nhau, tức

bốn điểm M, N, P, Q đồng phẳng

Hoạt động 4: Cho hai mặt phẳng song song (P) và (Q). Giả sử mặt phẳng (R) cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến a (H.4.46)

a) Giải thích vì sao mặt phẳng (R) cắt mặt phẳng (Q)

b) Gọi b là giao tuyến của hai mặt phẳng (R) và (Q). Hai đường thẳng a và b có thể chéo nhau hay không, có thể cắt nhau hay không?

Lời giải:

a) 

(P) // (Q), (R) cắt (P) 

=>  (R)  cắt (Q)

b) a và b lần lượt là giao tuyến của (R) và các mp(P), (Q) do đó a và b đồng phẳng 

=> a và b không thể chéo nhau

a và b lần lượt thuộc hai mặt phẳng song song (P) (Q) 

=>  a // b

Giải Toán 11 trang 91

Luyện tập 3: Trong Ví dụ 3, hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng (EMQ) và mặt phẳng (ABCD)

Lời giải:

Ta có (MNPQ) // (ABCD) (chứng minh ở Ví dụ 2)

=> giao tuyến của (EMQ) với hai mặt phẳng (MNPQ) và (ABCD) song song với nhau

Trong mp(EMQ) qua E vẽ đường thẳng ET // MQ (T thuộc CD)

Vậy: đường thẳng ET là giao tuyến của (EMQ) và (ABCD)

Hoạt động 5: Cho ba mặt phẳng (P), (Q) và (R) đôi một song song. Hai đường thẳng phân biệt d và d' cắt ba mặt

phẳng lần lượt tại A, B, C và A', B', C' (C khác C'). Gọi D là giao điểm của AC' và (Q) (H.4.48)

a) Các cặp đường thẳng BD và CC', B'D và AA' có song song với nhau không?

b) Các tỉ số ABBC,ADDC′ và A′B′B′C′ có bằng nhau không?

Lời giải:

a) Mặt phẳng (Q) // mp(R) song song với nhau

=> giao tuyến của (ACC') với hai mặt phẳng (Q) và (R) song song với nhau.

=> BD // CC'

Mặt phẳng (Q) // mp(P) song song với nhau

=> giao tuyến của (C'AA') với hai mặt phẳng (Q) và (P) song song với nhau. 

=> B'D // AA'

b)

 Xét tam giác ACC': BD // CC' => ABBC = ADDC′

Xét tam giác C'AA': B'D // AA' => ADDC′ = A′B′B′C′

Vậy: ABBC = ADDC′ = A′B′B′C′

Luyện tập 4: Trong HĐ5, cho AB = 2 cm, BC = 4 cm và A'B' = 3 cm. Tính độ dài của đoạn thẳng B'C'

Lời giải:

Áp  dụng định lí Thales cho ba mặt phẳng đôi một song song (P), (Q), (R) và hai cát tuyến d, d' ta có:

AB/BC = A′B′/B′C′ 

<=> 2/4 = 3/B′C′

=> B'C' = 6 (cm)

Hoạt động 6:  Các hình ảnh dưới đay có đặc điểm chung nào với hình lăng trụ đứng tăm giác mà em đã học ở lớp 7

Lời giải:

- Các cạnh bên của hình lăng trụ đứng vuông góc với đáy.

- Những mặt phẳng chứa đáy song song với nhau.

Giải Toán 11 trang 92

Câu hỏi: Hãy giải thích tại sao các mặt bên của hình lăng trụ là hình bình hành, từ đó suy ra các cạnh bên đôi một

song song và  có độ dài bằng nhau.

Lời giải: 

Xét mặt bên A₁A′₁A′₂A₂:  A₁A′₁//A₂A′₂, mp(A₁A′₁A′₂A₂) lần lượt cắt hai mặt phẳng song song (α) và (α') theo hai

giao tuyến A₁A₂ và A′₁A′₂ => A₁A₂//A′₁A′₂.

Do vậy, tứ giác A₁A′₁A′₂A₂ là hình bình hành (các cặp cạnh đối diện song song).

 => A₁A′₁//A₂A′₂ và A₁A′₁ = A₂A′₂.

Tương tự, ta có các mặt bên khác của hình lăng trụ là hình bình hành, từ đó suy ra các cạnh bên đôi

một song song và có độ dài bằng nhau.

Luyện tập 5: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi M và M' lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và B'C'.

Chứng minh rằng AMC.A'M'C' là hình lăng trụ

Lời giải:

Kẻ M, M' lần lượt là trung điểm của BC, B'C'

BCC'B' là hình bình hành => MM' // CC'

Các cạnh bên của hình lăng trụ ABC.A'B'C' đôi một song song nên AA'//CC'

(AMC) //(A'M'C') nên AMC. AM'C' là hình lăng trụ

Hoạt động 7: Hình ảnh nào trong HĐ6 gợi nên hình ảnh về hình lăng trụ có đáy là hình bình hành

Lời giải:

Giải Toán 11 trang 93

Luyện tập 6: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng hai mặt phẳng (ADDA') và (BCC'B') song song với nhau.

Lời giải:

ABCD là hình bình hành => AD // BC => AD // (BCC'B')

ABCD.A'B'C'D' là hình hộp => DD'//CC' => DD' // (BCC'B')

(ADD'A') chứa cặp cạnh cắt nhau song song với (BCC'B') nên (ADD'A') //(BCC'B')

Vận dụng 2: Để xác định mực nước trong một chiếc bể có dạng hình hộp, bác Hà đặt một thanh gỗ đủ dài vào

trong bể sao cho một đầu của thanh gỗ dựa vào mép của nắp bể, đầu còn lại nằm trên đáy bể (H.4.53). Sau đó

bác Hà rút thanh gỗ ra ngoài và tính tỉ lệ giữa độ dài của phân thanh gỗ bị ngâm trong nước và độ dài của cả

thanh gỗ. Tỉ lệ này chính bằng tỉ lệ giữa mực nước và chiều cao của bể. Hãy giải thích vì sao?

Lời giải:

Mặt nước, nắp bể và đáy bể nằm trong ba mặt phẳng đôi một song với nhau song song với nhau.

Khi đó, thanh gỗ và chiều cao của bể đóng vai trò như hai đường thẳng phân biệt cắt ba mặt phẳng đôi một song

song trên. 

Vậy áp dụng định lí Thalés trong không gian, ta khẳng định được tỉ lệ giữa độ dài của phân thanh gỗ bị ngâm trong

nước và độ dài của cả thanh gỗ bằng tỉ lệ giữa mực nước và chiều cao của bể.