Viết phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm

I. Các dạng bài tập về cách viết phương trình tiếp tuyến

+ Viết phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm M.

+ Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm A cho trước.

+ Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc k.

Phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm M(x₀,y₀) có dạng:

y=f‘(x₀)(x−x₀)+y₀   (1)

Trong đó f‘(x₀) là đạo hàm của hàm số tại điểm x₀.

x0; y0 là hoành độ, tung độ của tiếp điểm M.

Như vậy với bài tập yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến thì ta phải tìm 3 đại lượng, là: f′(x₀); x₀ và y₀.

1. Cách viết phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm 

Để viết phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm cho trước M(x₀,y₀)

Cách làm: Bài toán yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm M(x₀,y₀) thì công việc cần làm là tìm f′(x₀);x₀ và y₀, trong đó x₀,y₀ chính là tọa độ của điểm M, vì vậy chỉ cần tính f′(x₀), rồi thay vào phương trình (1) là xong.

2. Cách viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm

Cho đồ thị hàm số y=f(x), viết phương trình tiếp tuyến Δ của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đi qua A(a,b)

Phương pháp:

Gọi phương trình tiếp tuyến của Δ có dạng: y = f’x₀(x – x₀) + y₀ (2)

Và có tiếp điểm M₀(x₀,y₀)

Vì A(a,b) thuộc tiếp tuyến nên thay tọa độ A vào phương trình ta có:

b=f′x₀(a–x₀)+fx₀ với fx₀=y₀

Phương trình này chỉ chứa ẩn x₀, do đó chỉ cần giải phương trình trên để tìm x₀.

Sau đó sẽ tìm được f′x₀ và y₀.

Tới đây phương trình tiếp tuyến của chúng ta đã tìm được.

3. Cách viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k

Để viết phương trình tiếp tuyến Δ của đồ thị (C) y = f(x) khi hệ số góc k ta làm theo các bước sau:

• Bước 1: Tính đạo hàm f’(x)
• Bước 2: Giải phương trình f’(x) = k để tìm hoành độ x₀ của tiếp điểm. Từ đây suy ra tọa độ điểm M0(x₀;y₀) với y₀=f(x₀)
• Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến Δ tại tiếp điểm M₀(x₀;y₀):

y=f′(x₀)(x–x₀)+y₀

***Chú ý: Tính chất của hệ số góc k của tiếp tuyến

4. Phương trình tiếp tuyến song song với đường thẳng

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b nên tiếp tuyến có hệ số góc k=a. Phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua tiếp điểm M(x₀,y₀) là y=a(x−x₀)+y₀

II. BÀI TẬP VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CÓ ĐÁP ÁN

Bài tập 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x³ + 3x tại:

a) Điểm A(1;4).

b) Điểm có hoành độ x₀=−1

c) Điểm có tung độ y₀=14.

d) Giao điểm của (C) với đường thẳng d:y=3x−8.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: f'(x) + 3x² + 3 => f'(1) = 6

Do vậy phương trình tiếp tuyến tại A (1;4) là y = 6(x-1) + 4 = 6x - 2

b) Với x = x₀ = -1 => f(x₀) = -4 => f'(x₀) = 6

Do vậy phương trình tiếp tuyến là y = 6(x+1) − 4 = 6x + 2

c) Với y₀ = 14 => x3 + 3x = 14 <=> x₀ = 2; f'(2) = 15

Do vậy phương trình tiếp tuyến là: y = 15(x−2) + 14 = 15x − 16

d) Hoành độ giao điểm của (C) và d là x³ + 3x = 3x - 8 <=> x= -2

Với x = −2 ⇒ y = −14 ⇒ f′(−2) = 15. Do đó phương trình tiếp tuyến là y = 15(x+2) − 14 = 15x + 16.

Bài tập 2: Cho hàm số 

a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ y₀=3.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với đường thẳng d:y=x−2.

Lời giải chi tiết

Bài tập 3: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x³ - 4x + 2 tại điểm có hoành độ bằng 1 là:

A. y=−x−2            B. y=x−2           C. y=−x         D. y=−x+1

Lời giải chi tiết

Ta có x₀ = 1 => y₀ = -1; f'(x) = 3x² -4 => f'(1) = -1

Do vậy PTTT là: y=−(x−1)−1=−x. Chọn C.

Bài tập 4:

A. y=−3x−1        B. y=−3x−3       C. y=−3x         D. y=−3x+3

Lời giải chi tiết

(C)∩Oy=A(0;−1). Lại có y' = -3/(x-1)² => y'(0) = -3

Do vậy phương trình tiếp tuyến là: y=−3x−1. Chọn A.

Bài tập 5:

Lời giải chi tiết