Bài tập đường thẳng vuông góc với mặt phẳng có lời giải

A. Tóm tắt lý thuyết

I. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

  Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng (α) nếu d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong (α).

Khi đó ta còn nói (α) vuông góc với d và kí hiệu

II. Điều kiện để dường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng (α) thì d vuông góc với (α).

III. Tính chất

1. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

2. Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

IV. Sự liên quan giữa quan hệ vuông góc và quan hệ song song

1. a) Cho hai đường thẳng song song. Mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.

b) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

2. a) Cho hai mặt phẳng song song. Đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia.

b) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

3. a) Cho đường thẳng a và mặt phẳng (α) song song với nhau. Đường thẳng nào vuông góc với (α) thì cũng vuông góc với

b) Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó) cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì chúng song song với nhau.

V. Phép chiếu vuông góc và định lí ba đường vuông góc

1. Định nghĩa.

 Cho đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α). Phép chiếu song song theo phương d lên mặt phẳng (α) được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (α).

2. Định lí ba đường vuông góc. 

Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (α) và b là đường thẳng không thuộc (α) đồng thời không vuông góc với (α). Gọi b’ là hình chiếu vuông góc của b trên (α). Khi đó a vuông góc với b khi và chỉ khi a vuông góc với b’

3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho đường thẳng d và mặt phẳng (α). Ta có định nghĩa :

+ Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α) bằng 90°.

+ Nếu đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng (α) thì góc giữa d và hình chiếu d’ của nó trên (à) được gọi là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α).

Lưu ý rằng góc giữa đường thẳng và mặt phẳng không vượt quá 90°.

B. Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1 : Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

1. Phương pháp giải

* Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng cực hay

Muốn chứng minh đương thẳng d ⊥ (α) ta có thể dùng môt trong hai cách sau.

Cách 1. Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a; b cắt nhau trong (α) .

Cách 2. Chứng minh d vuông góc với đường thẳng a mà a vuông góc với (α) .

Cách 3. Chứng minh d vuông góc với (Q) và (Q) // (P).

* Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

- Để chứng minh d ⊥ a, ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:

   + Chứng minh d vuông góc với (P) và (P) chứa a.

   + Sử dụng định lí ba đường vuông góc.

   + Sử dụng các cách chứng minh đã biết ở phần trước.

2. Bài tập có lời giải

Bài 1. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi H, I vầK lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh SB, SC và SD.

a) Chứng minh BC ⊥ (SAB), CD ⊥ (SAD) và BD ⊥ (SAC).

b) Chứng minh SC ⊥ (ẠHK) và điểm I thuộc (AHK).

c) Chứng minh HK ⊥ (SAC), từ đó suy ra HK ⊥  AI.

Giải

a) BC  ⊥  AB vì đáy ABCD là hình vuông (h.3.24)

BC  ⊥  SA vì SA  ⊥ (ABCD) và BC thuộc (ABCD).

Do đó BC  ⊥  (SAB) vì BC vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong (SAB).

Lập luận tương tự ta có CD  ⊥  AD và CD  ⊥  SA nên CD ⊥  (SAD).

Ta có BD  ⊥  AC vì đáy ABCD là hình vuông và BD  ⊥ SA nên BD  ⊥  (SAC). 

b) BC  ⊥ (SAB) mà AH ⊂ (,SAB) nên BC  ⊥  AH và theo giả thiết SB  ⊥  AH ta suy ra AH  ⊥  (SBC).

Vì SC ⊂ (SBC) nên AH  ⊥  SC.

Lập luận tương tự ta chứng minh được AK  ⊥  SC. Hai đường thẳng AH, AK cắt nhau và cùng vuông góc với SC nên chúng nằm trong mặt phẳng đi qua điểm A và vuông góc với SC. Vậy SC  ⊥  (AHK). Ta có AI ⊂ (.AHK) vì nó đi qua điểm A và cùng vuông góc với SC.

Hai tam giác vuông SAB và SAD bằng nhau vì chúng có cạnh SA chung và AB AD (c.g.c). Do đó SB = SD, SH = SK nên HK // BD.

Vì BD ⊥ (SAC) nên HK    (SAC) và do AI c= (SAC) nên HK ⊥ AI.

Bài 2. Cho tứ diện đều ABCD. Chứng minh các cặp cạnh đối diện của tứ diện này vuông góc với nhau từng đôi một.

Giải

Giả sử ta cần chứng minh AB ⊥ CD.

Gọi I là trung điểm của cạnh AB (h3.26). Ta có :

Do đó AB ⊥ CD vì CD nằm trong mặt phẳng (CID).

Bằng lập luận tương tự ta chứng minh được BC ⊥ AD và AC ⊥ BD.

Bài 3. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD và có cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Chứng minh các mặt bên của hình chóp đã cho là những tam giác vuông.

Giải

SA ⊥ AB và SA ⊥ AD (h.3.28).

Vậy các tam giác SAB và SAD là các tam giác vuông tại A.

Vậy tam giác SDC vuông tại D và tam giác SBC vuông tại B.

Chú thích. Muốn chứng minh tam giác SDC vuông tại D ta có thể áp dụng định lí ba đường vuông góc và lập luận như sau

Đường thẳng SD có hình chiếu vuông góc trên mặt phẳng (ABCD) là AD. Theo định lí ba đường vuông góc vì CD ⊥ AD nên CD ⊥ SD và ta có tam giác SDC vuông tại D.

Tương tự, ta chứng minh được CB ⊥ SB và ta có tam giác SBC vuông tại B.

Dạng 2: Cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

1. Phương pháp giải

Để xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α) ta thực hiện theo các bước sau:

+ Bước 1: Tìm giao điểm O của đường thẳng a và (α)

+ Bước 2: Dựng hình chiếu A’ của một điểm A ∈ a xuống (α)

+ Bước 3: Góc ∠AOA' = φ chính là góc giữa đường thẳng a và (α)

Lưu ý:

- Để dựng hình chiếu A’ của điểm A trên (α) ta chọn một đường thẳng b ⊥ (α) khi đó AA’ // b.

- Để tính góc φ ta sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAA’.

2. Bài tập có lời giải

Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cạnh huyền BC = a. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) trùng với trung điểm BC. Biết SB = a. Tính số đo của góc giữa SA và (ABC).

A. 30°               B. 45°               C. 60°               D. 75°

Hướng dẫn giải

Chọn C

Gọi H là trung điểm của BC suy ra

AH = BH = CH = (1/2)BC = a/2

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông cân tại A và BC = a. Trên đường thẳng qua A vuông góc với (ABC) lấy điểm S sao cho SA = (√6)a/2 . Tính số đo góc giữa đường thẳng SA và (ABC) .

A. 30°               B. 45°               C. 60°               D. 90°

Hướng dẫn giải

Chọn D

Từ giả thiết suy ra:

SA ⊥ (ABC) ⇒ (SA, (ABC)) = 90°