Các dạng toán phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đầy đủ, hay nhất

Tổng hợp kiến thức về các dạng toán phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đầy đủ, hay nhất. Giúp các em có thể nắm vững kiến thức về phương trình tiếp tuyến. Hãy cùng thầy Phú toploigiai khám phá và tìm hiểu những kiến thức bổ ích qua bài viết chi tiết dưới đây!

I. Các dạng toán tiếp tuyến của đồ thị hàm số

1. Viết phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C), viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(x0;f(x0))∈(C).

Phương pháp:

- Bước 1: Tính )y′=f′(x)⇒f′(x0).

y=f‘(x₀)(x−x₀)+y₀ (1)

Trong đó f‘(x₀) là đạo hàm của hàm số tại điểm x₀.

x₀;y₀ là hoành độ, tung độ của tiếp điểm M.

- Bước 2: Viết phương trình tiếp tuyến y=f′(x0)(x−x0)+f(x0)

- Bước 3: Kết luận.

=> Như vậy với bài tập yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến thì ta phải tìm 3 đại lượng, là: f′(x₀);x₀ và y₀.

2. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C), viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm M(xM;yM).

Phương pháp:

- Bước 1: Tính y′=f′(x).

- Bước 2: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0 của (C)(C): y=f′(x0)(x−x0)+f(x0).

- Bước 3: Thay tọa độ (xM;yM)vào phương trình trên, giải phương trình tìm x0.

- Bước 4: Thay mỗi giá trị x0 tìm được vào phương trình tiếp tuyến ta được phương trình cần tìm.

3. Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k

Để viết phương trình tiếp tuyến Δ của đồ thị (C) y = f(x) khi hệ số góc k ta làm theo các bước sau:

Bước 1: Tính đạo hàm f’(x)

Bước 2: Giải phương trình f’(x) = k để tìm hoành độ x₀ của tiếp điểm. Từ đây suy ra tọa độ điểm M₀(x₀;y₀) với y₀=f(x₀)

Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến Δ tại tiếp điểm M₀(x₀;y₀):

y=f′(x₀)(x–x₀)+y₀

Chú ý: Tính chất của hệ số góc k của tiếp tuyến

4. Phương trình tiếp tuyến song song với đường thẳng

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b nên tiếp tuyến có hệ số góc k=a. Phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua tiếp điểm M(x0,y0) là y=a(x−x0)+y0

Phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

III. Bài tập tự luyện

Bài 1:

Hướng dẫn:

Tập xác định: D = R

Đạo hàm: y’ = x² + 6x

Ta có:

k = -9 ⇔ y’(x_o) = - 9

⇔ x_o² + 6x_o = -9

⇔ (x_o + 3)² = 0

⇔ x_o = -3 ⇒ y_o = 16

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là (d): y = -9(x + 3) + 16 = -9x – 11

Bài 2: 

Hướng dẫn:

1. Hàm số đã cho xác định D = R

Gọi (t) là tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số và (t) vuông góc với đường thẳng y = (1/6)x - 1, nên đường thẳng (t) có hệ số góc bằng -6

Cách 1: Gọi M(x_o ; y_o) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến (t) và đồ thị (C) của hàm số . Khi đó, ta có phương trình:

y’(x_o) = -6 ⇔ -4x_o³ - 2x_o = -6 ⇔ (x_o-1)(2x_o²+2x_o+3) = 0   (*).

Vì 2x_o² + 2x_o + 3 > 0 ∀xo ∈ R nên phương trình

(*) ⇔ x_o = 1 ⇒ y_o = 4 ⇒ M(1;4)

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = -6(x – 1) + 4 = -6x + 10

Cách 2: Phương trình (t) có dạng y = -6x + m

(t) tiếp xúc (C) tại điểm M(x_o ; y_o) khi hệ phương trình sau có nghiệm x_o

2. Hàm số đã cho xác định D = R