Trực tâm là gì - Những điều cần nắm chắc

I. Lý thuyết về trực tâm của tam giác

1. Đường cao tam giác

Định nghĩa: Đường cao của một tam giác chính là đoạn vuông góc kẻ từ một đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện gọi là đường cao của tam giác đó. Mỗi tam giác có ba đường cao.

Ba đường xuất phát từ 3 đỉnh của tam giác và vuông góc vs cạnh đối diện sẽ giao nhau tại 1 điểm gọi là TT. Vì vậy giao điểm của ba đường cao trong tam giác chính là trực tâm của tam giác.

+ Đối với tam giác nhọn: Trực tâm nằm ở miền trong tam giác đó 

+ Đối với tam giác vuông: Trực tâm chình là đỉnh góc vuông 

+ Đối với tam giác tù: Trực tâm nằm ở miền ngoài tam giác đó 

2. Tính chất trực tâm

- Đường tròn ngoại tiếp tam giác đó và trung điểm cạnh nối hai đỉnh còn lại có khoảng cách bằng một nửa khoảng cách một đỉnh tới trực tâm.

- Đỉnh góc vuông của tam giác vuông cũng chính là trực tâm của nó

- Đường cao của tam giác cân vừa là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực của nó.

- Trọng tâm của tam giác cân cũng chính là trực tâm của nó

- Trực tâm nằm ở vùng phía trong 1 tam giác, nếu nó là tam giác nhọn

- Trực tâm nằm ở vùng ngoài tam giác nếu nó là tam giác tù

3. Trực tâm trong những loại tam giác đặc biệt

Tam giác vuông: trực tâm sẽ   trùng với đỉnh góc vuông 
Giải thích: vì mỗi cạnh góc vuông của tam giác chính là đường cao cua tam giác nên 2 cạnh góc vuông và đường cao ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông cắt nhau tại đỉnh góc vuông.

Tam giác tù: trực tâm của nằm ngoài tam giác.

 Nếu tam giác ABC có góc A tù 

=> BC là cạnh lớn nhất

=> BC > BA

Kẻ đường cao BL ta có hình chiếu của BA,BC là  LA; LC 

 => LA < LC

=> A nằm giữa L và C tức đường cao BL nằm ngoài tam giác ABC

Cũng như vậy ta chứng minh được đường cao CK nằm ngoài tam giác ABC

Suy ra, giao điểm 3 đường cao nằm ngoài tam giác ABC góc B tù (chứng mình tương tự)
góc C tù (chứng mình tương tự)

Tam giác đều: đặc biệt cần chú ý

Hệ quả: Trong một tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh là bốn điểm trùng nhau.

II. Một số tính chất liên quan đến trực tâm ứng dụng nhiều trong các bài toán

Mối quan hệ giữa trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Bài tập: Cho O, H, G lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm, trọng tâm của △ABC. Chứng minh rằng O, H, G cùng thuộc một đường thẳng (được gọi là đường thẳng Euler của △ABC) và GH = 2GO.

Giải

Chứng minh:

Gọi M là trung điểm BC. Kẻ đường kính AD.

Ta có: ∠ACD = 90⁰ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒ CD ⊥ AC

mà BH ⊥ AC

⇒ BH // CD

Tương tự, CH // BD

BHCD là hình bình hành (hai cặp cạnh đối song song) mà M là trung điểm của BC

⇒ M là trung điểm HD

△ABC có AM là đường trung tuyến (M là trung điểm BC), G là trọng tâm

⇒ G ∈ AM và AG= ⅔AM

△AHD có AM là đường trung tuyến (M là trung điểm HD), G ∈ AM và AG=⅔AM

⇒ G là trọng tâm của △AHD mà HO là đường trung tuyến của △AHD

⇒ G ∈ HO và GH = 2GO

Vậy O, H, G cùng thuộc một đường thẳng và GH = 2GO

Tính chất được phát biểu thành lời như sau: Trong một tam giác, tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm và trực tâm của tam giác là 3 điểm thẳng hàng.Khoảng cách từ một đỉnh tới trực tâm của một tam giác bằng hai lần khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó đến cạnh nối hai đỉnh còn lại”

Xác định trực tâm khi biết tọa độ 3 đỉnh của 1 tam giác trong mặt phẳng Oxy

Bài tập: Trong mp Oxy cho tam giác ABC với A(x1;y1) B(x2;y2) và C(x3;y3) .Xác định trọng tâm G, trực tâm H  và tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Giải:

Tìm trực tâm H

Gọi H(x; y) là trực tâm của tam giác ABC

Tìm trực tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Gọi I(x; y). Tính AI² = (x – x₁)² + (y –y₁)²     

BI² = (x – x₂)² + (y – y₂)²    

CI² = (x – x₃)² + (y – y₃)². I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC → AI = BI = CI.

Giải hệ trên tìm x; y.

II. Bài tập vận dụng

Câu 1.

Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B (MA < MB). Vẽ tia Mx vuông góc với AB, trên đó lấy hai điểm C và D sao cho MA = MC, MD = MB.
Tia AC cắt BD ở E. Tính số đo góc 

A. 300

B. 450

C. 600

D. 900

Đáp án: D

Câu 2

Cho ΔABC cân tại A, hai đường cao BD và CE cắt nhau tại I. Tia AI cắt BC tại M. Khi đó ΔMED là tam giác gì?

A. Tam giác cân

B. Tam giác vuông cân

C. Tam giác vuông

D. Tam giác đều.

Đáp án: A