Cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng lớp 10

Lý thuyết 3 điểm thẳng hàng

Tổng quát 3 điểm thẳng hàng

- Khi ba điểm cùng thuộc một đường thẳng, ta nói ba điểm thẳng hàng.

- Trong ba điểm thẳng hàng, có một và chỉ một điểm nằm giữa hai điểm còn lại.

Với 3 điểm thẳng hàng A,B,C ta có thể nói:

- Điểm B nằm giữa hai điểm A và C.

- Hai điểm A và B nằm cùng phía đối với điểm C, hai điểm B và C nằm cùng phía đối với điểm A.

- Hai điểm A và C nằm khác phía đối với điểm B

Phương pháp chứng minh 3 điểm thẳng hàng

Sử dụng tính chất góc bẹt

- Chứng minh ∠ABC = 180^o

⇒ A,B,C thẳng hàng

Sử dụng tiên đề Ơ-clit

- Chứng minh hai đoạn thẳng, tạo thành từ ba điểm đã cho, cùng song song với một đường thẳng nào đó.

Chẳng hạn chứng minh:

AM ΙΙ xy và BM ΙΙ xy ⇒ A,M,B thẳng hàng

Sử dụng tính chất 2 đường thẳng vuông góc

- Chứng minh hai đoạn thẳng, tạo từ 3 điểm đã cho cùng vuông góc với một đường thẳng nào đó.

Chẳng hạn chứng minh : 

Sử dụng tính duy nhất của tia phân giác của một góc khác góc bẹt

- Chứng minh: Tia OA và OB cùng là tia phân giác của góc ∠xOy

⇒ O, A, B thẳng hàng

Sử dụng tính chất đường trung trực của đoạn thẳng

- Chứng minh H,I,K cùng thuộc đường trung trực của AB

⇒ H, I, K thẳng hàng

Sử dụng tính chất các đường đồng quy của tam giác

- Chứng minh :

+ I là trọng tâm của ΔABC

+ AD là trung tuyến của ΔABC

⇒ A, I, D thẳng hàng

Sử dụng phương pháp vecto

Muốn chứng minh ba điểm A,B,C thẳng hàng bằng vectơ, chúng ta có hai cách sau:

Ứng dụng vectơ chứng minh 3 điểm thẳng hàng

Bài toán 1: Cho hình bình hành ABCD, I là trung điểm của cạnh BC và E là điểm thuộc đường chéo AC thỏa mãn tỉ số AE/AC = ⅔. Chứng minh ba điểm D, E, I  thẳng hàng.

Giải

Từ đây ta có:

Vậy ba điểm D, E, I thẳng hàng.

Bài toán 2: Cho ΔABC. Gọi O, G, H theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của ΔABC. CMR O, G, H thẳng hàng.

Giải

Ta có:

Gọi E là trung điểm BC và A1 là điểm đối xứng với A qua O, ta được:

Bài tập chứng minh 3 điểm thẳng hàng

Ví dụ 1: Cho D ABC vuông tại B. Trên nữa mặt phẳng bờ BC không có điểm A, vẽ tia Cx vuông góc BC. Trên tia Cx lấy M sao cho CM = AB. Chứng minh A, M và D là trung điểm của BC thẳng hàng.

Cách giải:

Bài tập chứng minh 3 điểm thẳng hàng

Ví dụ 1: Cho D ABC vuông tại B. Trên nữa mặt phẳng bờ BC không có điểm A, vẽ tia Cx vuông góc BC. Trên tia Cx lấy M sao cho CM = AB. Chứng minh A, M và D là trung điểm của BC thẳng hàng.

Cách giải:

Xét ΔABD và ΔMCD, ta có:

∠B = ∠C

AB = CM (gt)

BD = DC (D là trung điểm của BC)

ΔABD=ΔMCD (2 cạnh góc vuông)

⇒ A,D,M thẳng hàng (góc bẹt)

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có P là trung điểm của AB và hai điểm M,N thỏa mãn các hệ thức:

 Chứng minh rằng 3 điểm M,N,P thẳng hàng.

Cách giải: