Công thức tính độ dài đường trung tuyến

Đường trung tuyến là gì?

Đường trung tuyến của 1 đoạn thẳng là 1 đường thẳng đi qua trung điểm của đường thẳng đó

Đường trung tuyến trong tam giác là một đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác tới các cạnh đối diện nó. Mỗi tam giác có 3 đường trung tuyến

Tính chất của đường trung tuyến

Trong tam giác thường, vuông, cân đều có tính chất của đường trung tuyến khác nhau.

Đường trung tuyến trong tam giác thường gồm 3 tính chất như sau:

• 3 đường trung tuyến trong tam giác cùng đi qua 1 điểm, điểm đó cách đỉnh tam giác một khoảng bằng độ dài của đường trung tuyến đi qua đỉnh đó.
• Giao điểm của 3 đường trung tuyến được gọi là trọng tâm
• Vị trí trọng tâm trong tam giác: Trọng tâm của 1 tam giác cách mỗi đỉnh 1 khoảng bằng độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó.

Tính chất đường trung tuyến của tam giác vuông:

 Tam giác vuông là một trường hợp đặc biệt của tam giác, trong đó, tam giác sẽ có một góc có độ lớn là 90 độ, và hai cạnh tạo nên góc này vuông góc với nhau.

- Do đó, đường trung tuyến của tam giác vuông sẽ có đầy đủ những tính chất của một đường trung tuyến tam giác.

Định lý 1: Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.

Định lý 2: Một tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông.

Ví dụ:
 

Tam giác ABC vuông ở A, độ dài đường trung tuyến AM sẽ bằng MB, MC và bằng 1/2 BC

Ngược lại nếu AM = 1/2 BC thì tam giác ABC sẽ vuông ở A.

Tính chất đường trung tuyến của tam giác đều, tam giác cân

• Đường trung tuyến ứng với cạnh đáy thì vuông góc với cạnh đấy, và chia tam giác thành 2 tam giác bằng nhau

Công thức tính độ dài đường trung tuyến

Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a, CA = b và AB = c. Gọi ma; mb; mc là độ dài các đường trung tuyến lần lượt vẽ từ các đỉnh A, B và C của tam giác. Khi đó

Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho tam giác ABC có BC = a = 10 cm, CA = b = 8 cm, AB = c = 7 cm. Tính độ dài các đường trung tuyến của tam giác ABC.

Lời giải:

Gọi độ dài trung tuyến từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC lần lượt là ma; mb; mc.

Áp dụng công thức trung tuyến ta có:

Vì độ dài các đường trung tuyến (là độ dài đoạn thẳng) nên nó luôn dương, do đó:

Bài 2: Cho tam giác MNP cân tại M, biết MN = MP = 8cm, NP = 7cm. Kẻ đường tuyến MI. Chứng minh MI ﬩ NP

Lời giải

Ta có MI là đường trung tuyến của ∆MNP nên IN = IP

Mặt khác ∆MNP là tam giác cân tại M

=> MI vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao

=> MI ﬩ NP

Bài 3: Cho tam giác ABC, có BC = a, CA = b và AB = c. Chứng minh rằng nếu b² + c² = 5a² thì hai trung tuyến kẻ từ B và C của tam giác vuông góc với nhau.

Lời giải:

Gọi D và E lần lượt là trung điểm của AB và AC, G là trọng tâm tam giác ABC.

Đặt BE = m_b, CD = m_c

Áp dụng công thức trung tuyến trong tam giác ABC ta có:

Vậy b² + c² = 5a² thì hai trung tuyến kẻ từ B và C của tam giác vuông góc với nhau. (đpcm)

Bài 4: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = 1/3AC. Tia BE cắt CD ở M. Chứng minh :

a) M là trung điểm của CD

Lời giải:

a. Xét tam giác BDC có AB = AD suy ra AC là đường trung tuyến tam giác BCD

Mặt khác

Suy ra E là trọng tâm tam giác BCD

M là giao của BE và CD

Vậy BM là trung tuyến tam giác BCD

Vậy M là trung điểm của CD

b. A là trung điểm của BD

M là trung điểm của DC

Suy ra AM là đường trung bình của tam giác BDC

Suy ra AM = 1/2 BC

Bài 5: Cho tam giác ABC cân tại A, hai đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G. Kéo dài AG cắt BC tại H.

a. So sánh tam giác AHB và tam giác AHC.

b. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của GA và GC. Chứng minh rằng AK, BD, CI đồng quy.

Lời giải:

a. Ta có BD là đường trung tuyến của tam giác ABC

CE là đường trung tuyến của tam giác ABC

Vậy G là trọng tâm tam giác ABC

Mà AH đi qua G nên AH là đường trung tuyến của tam giác ABC

HB = HC

Xét hai tam giác AHB và tam giác AHC có:

AB = AC (tam giác ABC cân tại A)

AH chung

HB = HC

⇒ ΔAHB = ΔAHC (c - c - c)

b. Ta có IA = IG nên CI là đường trung tuyến của tam giác AGC (1)

Ta lại có KG = KC nên AK là đường trung tuyến của tam giác AGC (2)

DG là đường trung tuyến của tam giác AGC (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra 3 đường trung tuyến CI, AK, DG đồng quy tại I

Bài 6: Cho tam giác ABC có AB = AC, gọi K là giao điểm của hai đường trung tuyến BM và CN. Chứng minh rằng:

a. Tam giác BNC và tam giác CMB bằng nhau

b. KB = KC

c. BC < 4KM

Lời giải:

a. Ta có: AB = AC (gt)

⇒ BN = CM

Xét ΔBCN và ΔCBM có:

BC là cạnh chung

BN = CM

Nên tam giác KBC cân tại A

Suy ra KB = KC

c. Xét ΔABC có:

NA = NB (CN là đường trung tuyến)

MA = MC (MB là đường trung tuyến)

Suy ra NM là đường trung bình của tam giác ABC

Xét tam giác NKM có:

NM < NK + KM (bất đẳng thức Cauchy trong tam giác)

NK = CN – CK

⇒ BC/2 < CN - CK + KM (1)

ΔBNC = ΔCMB ⇒ CN = BM (2)

Tam giác KBC cân tai K ⇒ CK = BK (3)

Từ (1), (2), (3) ⇒ BC/2 < BM - BK + KM

⇒ BC/2 < 2KM

⇒ BC < 4KM