Giải và biện luận phương trình theo tham số m

A. Giải và biện luận phương trình bậc nhất theo tham số m

I. Tóm tắt lý thuyết

Cách giải và biện luận phương trình dạng ax+b=0 được tóm tắt trong bảng sau

Khi a ≠ 0 phương trình ax + b = 0 được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn

II. Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho phương trình (m² - 7m + 6)x + m2 - 1 = 0

a. Giải phương trình khi m = 0

b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình

Hướng dẫn:

a. Với m = 0 phương trình trở thành 6x - 1 = 0 ⇔ x = 1/6

Phương trình có nghiệm duy nhất x = 1/6

b. Ta có (m² - 7m + 6)x + m2 - 1 = 0 ⇔ (m-1)(m-6)x + (m-1)(m+1) = 0

Nếu m = 1 phương trình trở thành 0 = 0. Khi đó phương trình có vô số nghiệm.

Nếu m = 6 thì phương trình trở thành 35 = 0 (Vô lí). Khi đó phương trình vô nghiệm.

Bài 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình (2m - 4)x = m - 2 có nghiệm duy nhất.

Hướng dẫn:

Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi 2m - 4 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2

B. Giải và biện luận phương trình bậc hai theo tham số m

I. Tóm tắt lý thuyết và phương pháp giải

Giải và biện luận phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0

Bước 1. Biến đổi phương trình về đúng dạng ax² + bx + c = 0

Bước 2. Nếu hệ số a chứa tham số, ta xét 2 trường hợp:

- Trường hợp 1: a = 0, ta giải và biện luận ax + b = 0.

- Trường hợp 2: a ≠ 0. Ta lập Δ = b² - 4ac. Khi đó:

+ Nếu Δ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt 

+ Nếu Δ = 0 thì phương trình có 1 nghiệm (kép): x = -b/2a

+ Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm.

Bước 3. Kết luận.

Lưu ý:

- Phương trình ax² + bx + c = 0 có nghiệm 

- Phương trình ax² + bx + c = 0 có nghiệm duy nhất 

II. Ví dụ minh họa

Bài 1: Phương trình (m–1)x² + 3x – 1 = 0. Phương trình có nghiệm khi:

Hướng dẫn:

Với m = 1, phương trình trở thành 3x - 1 = 0 ⇔ x = 1/3

Do đó m = 1 thỏa mãn.

Với m ≠ 1, ta có Δ = 9 + 4(m-1) = 4m + 5

Phương trình có nghiệm khi Δ ≥ 0

Hợp hai trường hợp ta được m ≥ -5/4 là giá trị cần tìm

Bài 2: Phương trình (x² - 3x + m)(x - 1) = 0 có 3 nghiệm phân biệt khi:

Hướng dẫn:

Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt

⇔ Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 1